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重複組合
鎖定
重複組合基本介紹
重複組合定義
一般地,從
個不同的元素中,每次取出
個可以重複的元素併成一組,叫做從
個不同的元素每次取出
個元素的允許重複的組合,即重複組合,其組合總數記作
。
重複組合相關結論
關於重複組合的計數方法有下面的規律。
證法1:設有
個不同的元素,不失一般性,可設為
。
設從這
個不同的元素取出
個元素的重複組合為
我們再構造一個組合
在這個對應中,雖然組合(1)中的元素有可能相同,但是組合(2)中的元素卻都不相同,這樣,組合(2)就是一個沒有重複元素的組合。
組合(2)是從
個不同的元素中,取出r個不同元素的組合,組合數為
。由於組合(2)的組合數與組合(1)的組合數相同,所以組合(1)的組合數為
。
關於這個證明,我們給出一個直觀的例子:
例如,從
中取出5個允許重複的組合,其中一個組合是
。
對於這個組合,採用證法中
的構造方法,就是
證法2: 設有n個不同的元素,不失一般性,可設為
。
從
個不同的元素取出r個元素的重複組合為
設元素
在組合中出現了
次,其中
是非負整數,若
,則説明元素k在組合中沒有出現;若
,則説明元素k在組合中出現2次;……
由此,一次不定方程
所以,從
個不同的元素取出
個元素的重複組合數,就是一次不定方程③的非負整數解的個數,其個數為
,即
。
我們也給出一個例子來説明這個證法。
例如,從
中取出5個允許重複的組合,其中一個組合是
,對應着一次不定方程
同樣,組合
對應着解
重複組合例題解析
例1 郵局發行10種新郵票,有一個集郵愛好者購買了15張郵票,他有多少種買法?
解: 買郵票的任何一種方式都可以看做是從10個元素中取出15個元素的組合,因此買法種數為
例2 求
的展開式的項數。
解:由於
的展開式的每一項都是n次的,因此,展開式的每一項都是從
這4個元素中取出n個元素的重複組合,不同的組合就得到不同的項,所以,
的展開式的項數為
例3 有一枚硬幣,正面是國徽,反面是幣值,我們同時投擲5枚這樣的硬幣,會出現多少種不同的情況呢?
把各種不同的情況一一列舉出來就是:
正面 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
反面 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
如果我們把硬幣的“正面”和“反面”看成兩個不同的元素,那麼這個問題就是:從兩個不同的元素中,取出5個元素的組合,顯然,所取的元素允許重複。
又如,從3個元素的集合
中,取2個元素,如果允許所取得元素重複,則有