連帶勒讓德函數

連帶勒讓德函數有兩類：第一類連帶勒讓德函數、第二類連帶勒讓德函數

連帶勒讓德函數是連帶勒讓德方程

的解，當

為任意整數的情形時，連帶勒讓德方程為

的一個解

記作

.另一個解為

記作

，即

.(

)

，

分別稱為m階n次第一類連帶勒讓德和第二類連帶勒讓德函數。 ^[1] 

^[2] 

^[2] 

由勒讓德多項式的母函數公式

兩次對x微分m次，得

.

兩端同乘以

，得

.

因此，

即為連帶勒讓德函數

的母函數。 ^[3] 

(1)

.

(2)

.

(3)

.

(4)

. ^[3] 

連帶勒讓德函數的正交歸一性是指

其中，

稱為連帶勒讓德函數

的模。 ^[3] 

連帶勒讓德函數

在區間[一1，1]上也構成一個正交完備系，可以看作廣義傅里葉級數展開的基函數。一個定義在區間[一1，1]上的連續函數，f(x)可展開成以連帶勒讓德函數

為基的廣義傅里葉級數

其中廣義傅里葉係數為

若令

,，則以上兩式可寫成