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譜論
鎖定
泛函分析中研究算子的譜的理論。算子的譜的概念是有限維矩陣的特徵值概念的推廣。力學、物理和工程技術中的大量問題在一定的條件下可以歸結為數學上代數方程、微分方程、積分方程或微分積分方程等的求解問題。在對這些方程求解問題的研究獲得豐富成果的基礎上，逐漸形成了一般的算子的譜的理論（這裏主要指線性算子）。
- 中文名
- 譜論
- 外文名
- spectral theory
- 適用範圍
- 數理科學
譜論簡介
譜論通過分析線性算子譜的性質來研究該算子的結構。例如，用簡單算子重新構造該算子、研究算子不變子空間的性質、算子在一定範圍的函數演算等。
譜論應用
譜論是泛函分析的一個極為重要分支。對於有限維空間上的算子，其譜論就是研究對應矩陣的本徵值、本徵空間以及若爾當分解等性質。無限維空間上緊線性算子的譜理論有些類似於有限維情況。例如，緊算子的譜集是至多可數的且 0 是唯一可能的聚點。
希爾伯特空間上的正規算子都有譜分解。微分算子的譜理論是譜理論的重要方面，在微分方程、量子力學等理論中有着廣泛的應用。
[1]
譜論相關概念
譜論譜算子
巴拿赫空間上具有某種譜分解性質的一類算子，它是若爾當型矩陣在無窮維空間的一種推廣。 自共軛的常微分方程的邊值問題的研究發展成希爾伯特空間上自伴算子（或自共軛算子）的譜論，這是20世紀數學上的重大成就。
譜算子是由鄧福德（N.Dunford）於 20 世紀 50年代引入的，是矩陣若爾當型在無限維的推廣。
①
；
②
；
③
在
上是一致有界的，即存在
，使得
，則稱 T 為譜算子，稱
為 T 的譜分解。
譜算子的譜分解是唯一的。若譜測度 E 具有緊支集
，則稱算子
為純量算子 (scalar operator)。T 是譜算子，N 是廣義冪零算子且
。
類似地，將條件①變為
，則可以定義無界的譜算子。
此時，一般不再有分解
。
譜論譜測度
設B為複平面C上波萊爾子集構成的σ代數。
若E是從B到巴拿赫空間X上射影算子族之同態映射，並且E(·)還是一致有界的，即E(C)=I，E(C\σ)=I-E(σ)，
‖E(σ)‖≤K（常數） (σ∈B)，則稱{E(σ)|σ∈B}為譜測度。這裏算子A∨B=A+B-AB。
