計算機數值方法

本書第一版是普通高等教育“九五”國家級重點教材及面向21世紀課程教材 ^[2]  ，自1999年出版以來，深受讀者歡迎，並榮獲“中國高校科技進步二等獎”。教材主要介紹計算機上求解各種數值問題的常用基本值方法及其算法設計，包括解線性方程組的直接法，插值法與最小二乘法，數值積分與微分、常微分方程數值解法，逐次逼近法等，內容與計算機的使用密切結合。為適應現代發展的需要，本書在保留原有體系、基本內容和風格的基礎上，根據第一版修訂而成，主要在以下幾個方面進行了完善和修訂：

（1）隨着計算機及其語言的快速發展和多樣化以及數學軟件平台的大量使用，對具體的算法設計和編程日趨簡化，大大地方便了讀者的使用。為此，刪除、簡化了某些算法設計和浮點基本運算等內容，加強了計算機數值方法的結構、特點以及算法適用性等方面的內容。

（2）本課程的實用性和適用性很強，現將建立在“數學軟件庫”基礎上的計算實習過渡到使用“數學軟件平台”的“數學實驗”，為此，將增加“數學實驗”附錄。

（3）對第一版使用過程中發現的繁瑣、沉冗內容，以及文字、符號、習題解答中的錯誤進行修訂；對例題、習題作適當調整和增刪。

本書可作為高等學校理工科非數學專業計算方法課程的教材，也可供從事科學計算的科技工作者參考。

第一章 引論 1

§1 計算機數值方法的研究對象與特點 1

§2 數值問題與數值算法 3

2-1 計算機數值方法 3

2-2 數值算法 5

2-3 算法設計及其表達法 6

§3 誤差 11

3-1 誤差的基本概念 11

3-2 浮點基本運算的誤差 17

3-3 數值方法的穩定性與算法設計原則 20

習題一 26

第二章 解線性方程組的直接法 28

§1 直接法與三角形方程組求解 28

1-1 直接法概述 28

1-2 三角形線性方程組的解法 29

§2 Gauss消去法 30

2-1 消元與回代計算 30

2-2 Gauss消去法的運算量 32

§3 Gauss列主元素消去法 33

3-1 主元素的作用 33

3-2 消元過程與係數矩陣的分解 35

3-3 列主元消去法算法設計 38

§4 直接三角分解法 41

4-1 基本的三角分解法 41

4-2 部分選主元的Doolittle分解 45

§5 平方根法 51

5-1 對稱正定矩陣的三角分解 51

5-2 平方根法的數值穩定性 54

§6 追趕法 55

*§7 逆矩陣的計算 60

習題二 64

第三章 插值法與最小二乘法 69

§1 插值法 69

1-1 插值問題 69

1-2 插值多項式的存在唯一性 70

1-3 插值基函數及Lagrange插值 70

§2 插值多項式中的誤差 72

2-1 插值餘項 72

2-2 高次插值多項式的問題 74

§3 分段插值法 75

3-1 分段線性Lagrange插值 76

3-2 分段二次Lagrange插值 77

§4 Newton插值 78

4-1 均差 79

4-2 Newton插值公式及其餘項 81

4-3 差分 84

4-4 等距節點的Newton插值公式 85

4-5 Newton插值法算法設計 88

§5 Hermite插值 90

5-1 兩點三次Hermite插值 90

5-2 插值多項式H3(x)的餘項 92

5-3 分段兩點三次Hermite插值 93

§6 三次樣條插值 96

6-1 三次樣條函數 96

6-2 三次樣條插值多項式 96

6-3 三次樣條插值多項式算法設計 103

6-4 三次樣條插值函數的收斂性 106

§7 數據擬合的最小二乘法 107

7-1 最小二乘法的基本概念 107

7-2 法方程組 108

7-3 利用正交多項式作最小二乘擬合 113

7-4 正交多項式作最小二乘的算法設計 119

習題三 122

第四章 數值積分與微分 127

§1 Newton-Cotes公式 127

1-1 插值型求積公式及Cotes係數 127

1-2 低階Newton–Cotes公式的餘項 130

1-3 Newton-Cotes公式的穩定性 132

§2 複合求積法 133

2-1 複合求積公式 133

2-2 複合求積公式的餘項及收斂的階 135

2-3 步長的自動選擇 136

2-4 複合Simpson求積的算法設計 138

§3 Romberg算法 140

3-1 複合梯形公式的遞推化 140

3-2 外推加速公式 141

3-3 Romberg算法設計 145

*§4 Gauss求積法 146

4-1 Gauss點 146

4-2 基於Hermite插值的Gauss型求積公式 147

4-3 Gauss型求積公式的數值穩定性 154

§5 數值微分 155

5-1 插值型求導公式 155

5-2 樣條求導公式 160

習題四 162

第五章 常微分方程數值解法 166

§1 引言 166

1-1 基於數值微分的求解公式 167

1-2 截斷誤差 171

1-3 基於數值積分的求解公式 172

§2 Runge-Kutta法 176

2-1 Runge-Kutta法 176

2-2 四階Runge-Kutta算法 182

§3 線性多步法 184

3-1 開型求解公式 184

3-2 閉型求解公式 186

*§4 常微分方程數值解法的進一步討論 189

4-1 單步法的收斂性與穩定性 189

4-2 常微分方程組與高階常微分方程的數值解法 191

4-3 邊值問題的數值解法 194

習題五 198

第六章 逐次逼近法 202

§1 基本概念 202

1-1 向量與矩陣的範數 202

1-2 誤差分析介紹 207

§2 解線性方程組的迭代法 211

2-1 簡單迭代法 212

2-2 迭代法的收斂性 218

§3 非線性方程的迭代解法 223

3-1 簡單迭代法 223

3-2 Newton迭代法及其變形 228

3-3 Newton迭代算法 232

3-4 多根區間上的逐次逼近法 233

§4 計算矩陣特徵問題的冪法 235

4-1 求代數方程根的方法 236

4-2 冪法 237

4-3 反冪法 242

4-4 反冪算法 245

§5 迭代法的加速 246

5-1 基本迭代法的加速（SOR法及其算法） 246

5-2 Aitken加速 249

習題六 253

習題答案 259

附錄 數值實驗 270

中英文人名對照表 284

參考書目 285 ^[3]