被乘數

乘法（multiplication），是指將相同的數加起來的快捷方式。其運算結果稱為積，“x”是乘號。從哲學角度解析，乘法是加法的量變導致的質變結果。整數（包括負數），有理數（分數）和實數的乘法由這個基本定義的系統泛化來定義。

乘法也可以被視為計算排列在矩形（整數）中的對象或查找其邊長度給定的矩形的區域。 矩形的區域不取決於首先測量哪一側，這説明了交換屬性。 兩種測量的產物是一種新型的測量，例如，將矩形的兩邊的長度相乘給出其面積，這是尺寸分析的主題。

整數的乘法運算滿足：交換律，結合律，分配律，消去律。

隨着數學的發展， 運算的對象從整數發展為更一般羣。

羣中的乘法運算不再要求滿足交換律。 最有名的非交換例子，就是哈密爾頓發現的四元數羣。 但是結合律仍然滿足。

1.乘法交換律：ab=ba，注：字母與字母相乘，乘號不用寫，或者可以寫成·。

2.乘法結合律：ab（c）=a（bc）；

3.乘法分配律：（a+b）c=ac+bc。 ^[1] 

被乘數指四則運算的乘法中被乘的數字，一般來説放在算式的前面。

如：4×2=8

上述算式中

4是被乘數，2是乘數。

上述算式可以讀作：

4乘以2等於8。也可以讀作：2乘4等於8。

被乘數與乘數可否換位置

在九年義務小學數學教材第七冊中提到:“應用題中的被乘數與乘數可以交換位置.”有的教師認為這樣做，理不通。甚至到小學中、高年級教學時仍過分強調乘數與被乘數的位置不能交換.對此問題，我翻閲了有關資料，研究了教材的編寫意圖。對此，李鴻巍有一定的看法。 ^[2] 

在低年級初學乘法時，教材中強調5X2表示2個5，而2X5表示5個2，以上兩種説法都是正確的。事實上，這是人為的規定。現代數學中，是用笛卡爾積定義乘法的，因數並沒有被乘數和乘數之分。換言之，被乘數和乘數都是積的因數。而學生在計算2X5、5X2時，都是採用口訣—“二五一十”。這實際上已經把5X2當作2X5了，學生已不知不覺地應用了乘法的交換律。因此，在做題時，被乘數和乘數完全可以交換。

在列式計算時，既可以列成5X2，也可以列成2X5，兩式的意義和計算結果是完全一樣的。到了第七冊學習了乘法交換律後，再強調不能交換被乘數和乘數的位置就沒有必要了。

既然兩種列式的意義和計算結果都是正確的，那麼，為什麼不在低年級初學乘法意義時就明確這個問題呢?這要從小學生的年齡特點及接受能力、數學知識教學的階段性去理解。小學生初學乘法時，年齡小、接受能力差，又沒有乘法交換律的知識基礎，而乘法的意義是在求相同加數和的基礎上形成的。適當地區分被乘數、乘數，説明其書寫位置有助於理解和掌握乘法意義，瞭解口訣的由來。學習了乘法交換律以後，在解決實際問題時，只要是求相同加數和的運算，能正確求出兩個因數的積都是合理的、正確的。不必再區分哪個因數是被乘數，哪個因數是乘數，更不要到小學畢業時，還去強調兩者的位置問題。至於乘法算式各部分的名稱，積仍稱為積;被乘數和乘數都統稱為積的因數，沒有必要顧及它們位置的先後。

在第七冊中，這樣處理既能使教師引導學生正確理解乘法現階段意義，又避免了進一步學習時發生矛盾。如果這時還繼續要求學生嚴格區分被乘數與乘數的位置，就不合教學的妥求。這不僅為進一步學習造成障礙，也束縛了學生思維，不利於培養學生思維的靈活性。

在教學中，要分階段，分別對待這一問題。在初學乘法的低年級學生中，列式時出現被乘數和乘數顛倒情況，這隻能視學生對乘法意義掌握不佳，對教材要求沒有理解好。出現此現象時，最好在該式子下做一標記，並指導其糾正過來。若在考試中出現“顛倒”，也要相應扣分。但是學生學習了乘法交換律後，只要列式正確，不必再鑑別因數的前後位置。這樣處理才能在教學中既顧及教學的階段性，又兼顧學習的連續性。

指出下列式子中的乘數和被乘數。

（1）540*90

（2）898*31

（3）274*31

解答：（1）中540為被乘數，90為乘數；

（2）中898為被乘數，31為乘數；

（3）中274為被乘數，31為乘數；