蘭切斯特方程

1915年，英國工程師弗雷德裏克·威廉·蘭開斯特在《戰鬥中的飛機》一文中，首先提出用常微分方程組描述敵對雙方兵力消滅過程，定性地説明了集中兵力的原理。

開始是用於分析交戰過程中的雙方傷亡比率，後用途逐漸推廣。

蘭切斯特方程證明，相同戰鬥力和戰鬥條件下，1000對2000人作戰。幾輪戰鬥下來。人多方只要傷亡268人就能全殲1000人的隊伍，蘭切斯特方程特別適用於現代戰爭中分散化軍隊和遠程火炮配置發生的戰鬥，遠距離戰鬥比如炮戰、空戰、艦隊海戰很可能出現蘭切斯特方程的理想情況。

在1914年，英國人蘭切斯特F.W.Lanchester研究空戰最佳編隊，發現了蘭切斯特方程。

當戰鬥雙方在彼此視距外交戰的時候，任一方實力與本身數量成正比，即蘭切斯特線性律。

當戰鬥雙方任意戰鬥單位都在彼此視野及火力範圍以內交戰的時候，任一方實力與本身數量的平方成正比，即蘭切斯特平方律。

蘭徹斯特的戰鬥力方程是：戰鬥力=參戰單位總數×單位戰鬥效率。它表明：在數量達到最大飽和的條件下，提高質量才可以增強部隊的戰鬥力，而且是倍增戰鬥力的最有效方法。在高新科學技術的影響下，軍隊的數量、質量與戰鬥力之間的關係已經發生了根本性變化：質量居於主導地位，數量退居次要地位，質量的優劣舉足輕重，質量佔絕對優勢的軍隊將取得戰爭的主動權。一般説來，高技術應用在戰場上形成的信息差、空間差、時間差和精度差，是無法以增加普通兵器和軍隊數量來彌補的；相反，作戰部隊數量的相對不足，卻可以高技術武器裝備為基礎的質量優勢來彌補，即通過提高單位戰鬥效率來提升戰鬥力。

戰爭實踐表明，提高質量是部隊建設的基本要求，在部隊數量相差不大的情況下，質量高者獲勝，質量差者失敗；倘若不能形成同一質量層次的對抗，處於劣勢的一方縱有再多的飛機、坦克、大炮，也可能失去還手之力。假定A的單位戰鬥力是B的一半，但是數量是B的三倍。假定B有1000人，A有3000人。如果是面對面的戰鬥，A方損失355人即可消滅掉B方的1000人。A需要先接近B再進行面對面的戰鬥，按蘭切斯特線性律，A付出1000人的代價殲滅B 500人以後接近，在2000對500的近戰中，付出130人的代價殲滅B方500人，總損失1130人對1000人。蘭切斯特方程沒有考慮戰場上的許多要素，並不完全，對局部的戰役有參考價值，對整個戰爭的結局無能為力。蘭切斯特方程在戰爭模擬的時候會被經常使用，恩格爾曾經使用蘭切斯特方程模擬硫磺島戰役，計算結果與事實非常接近.

蘭切斯特把戰鬥簡化為兩種基本情況：遠距離交火和近距離集中火力殺傷。遠距離交火時，一方損失率既和對方兵力成正比，也和己方兵力成正比，以微分方程表示即為

dy/dt=-a*x*y

dx/dt=-b*x*y

其中x和y分別為紅軍和藍軍的戰鬥單位數量，a和b分別為紅軍和藍軍的平均單位戰鬥力，因此雙方實力相等的條件為

a*x=b*y

即任一方的實力和本身戰鬥單位的數量成線性關係，也稱蘭切斯特線性律。這就是説，如果藍軍平均單位戰鬥力(包括武器、訓練等因素)是紅軍四倍的話， 100 名藍軍和400名紅軍的戰鬥力相同，100名藍軍和400名紅軍交戰的結果是同歸於盡。集中優勢兵力只是拼消耗，並不佔便宜。但近距離集中火力殺傷時，一方損失率僅和對方戰鬥單位數量成正比，而和己方戰鬥單位數量無關，即

dy/dt=-a*x

dx/dt=-b*y

雙方實力相等的條件變為

a*x^2=b*y^2

即任一方實力和本身戰鬥單位數量的平方成正比，也稱蘭切斯特平方律。仍假定藍軍平均單位戰鬥力是紅軍的四倍，100名藍軍和400名紅軍近戰後，當藍軍 100人全軍覆沒時，紅軍仍有sqrt(400^2-4*100^2)=346人留下(這裏sqrt為平方根，^2為平方)，即損失54人。這就是集中兵力打殲滅戰的數學依據，而且優勢兵力一方的實際損失比劣勢兵力的一方還小。

考慮另一個情況：200名藍軍和400名紅軍交戰，雙方實力相等(sqrt(400^2-4*200^2)=0)。如果紅軍通過戰術動作或計策使藍軍分成各為100人但互不支援的兩半，則紅軍可以 54人的代價先殲滅藍軍的第一個100人，再用剩餘的力量以64人的代價殲滅藍軍的第二個100人，紅軍總代價為118人，總戰果為200人。這就是“各個擊破”原則的數學解釋，也是兵敗如山倒的數學解釋，因為兵敗的典型特徵是各自為戰，首尾不顧，在客觀上強化了被各個擊破的機會。

仍然考慮藍軍100人，紅軍400人，雙方戰鬥力差距為4：1的情況，但雙方距離很遠。如果紅軍付出一半的代價推進到近距離，按4:1的線性律，這時紅軍還剩200人，藍軍50人，但接下來紅軍就可以發揮近戰優勢，以27人的代價消滅藍軍的第二個50人。這就是勇猛突破、近戰殲敵以克服敵人遠射火力優勢的數學解釋。