熱爾崗點

熱爾崗定理 分別連接三角形一個頂點及對邊上的內切圓切點的三條直線共點。

這個點被稱為此三角形的熱爾崗點。

證明 在圖1中，圓O與AB、AC、BC三邊分別相切於N、M、L三點。

由此可得AN=AM，BL=BN，CM=CL。這些等式可以寫成

將這三個分式相乘，我們就得到

因此，

由切瓦定理得，AL、BM和CN共點。這個點就是△ABC的熱爾崗點 ^[2]  。

⑴ 三角形的內切圓切於BC，CA，AB三邊於D，E，F三點，則AD，BE，CF交於一點，該點稱為熱爾崗(Gergonne)點，以Ge記之。

類似地，三角形三個旁切圓在BC，CA，AB三邊上的切點，分別是D'，E' ，F' ，則AD'，BE' ，CF'交於一點，該點稱為奈格爾(Nagel)點，以Na記之。

⑵ 現在把內切圓與旁切圓統一聯繫起來，設在BC邊上兩個圓的切點分別是

;在AC邊上兩個圓的切點分別是

;在AB邊上兩個圓的切點分別是

，則有

交會於Ge，

交會於G₁，

交會於G₂，

交會於G₃，這是四個熱爾崗點。

又有

交會於Na，

交會於N₁，

交會於N₂，

交會於N₃，這是四個奈格爾點。

⑶ 三角形諸熱爾崗點及納格爾點的等角共軛點分別是外接圓與內切圓及外接圓與旁切圓的相似中心。

證明 如圖2(a),設D,E,F關於AI,BI,CI的對稱點為A',B',C',則不難知AA',BB',CC'為AD,BE,CF的等角線,所以AD,BE,CF交於P(熱爾崗點)的等角共軛點為P'(AA',BB',CC交點)。

因為A'B₁=DC₁,C'B₂=EA₁,DC₁=EA₁,所以A'B₁=C'B₂,故A'C'//AC,同理C'B'//CB,B'A'//BA,所以三角形A'B'C'與△ABC關於P'位似,故⊙I與⊙ABC也關於P'位似，即⊙I與⊙ABC相似中心為P'。

如圖2(b),設ID,IE,IF交⊙I於另一點D₁,E₁,F₁,則不難導出AD₁,BE₁，CF₁為AD,BE,CF的等截線,所以AD₁,BE₁,CF₁交於一點R(納格爾點)。

設D₂,E₂,F₂是D₁,E₁，F₁關於IA,IB,IC的對稱點，有AD₂,BE₂,CF₂為AD₁,BE₁,CF₁的等角線，因此它們必交於一點R'(R的等角共軛點) ^[3]  。

⑷ 熱爾崗點有一個有趣的推廣。

定理△ABC的內切圓切BC，CA，AB於D，E，F三點，另作一與內切圓的同心圓⊙R，ID,IE,IF的延長線交⊙R於D'，E'，F'，則AD'，BE'，CF'三線共點 (圖3)。

⑸ 原三角形中的熱爾崗點也是下列三角形中的幾何特徵點：內切點三角形中的共軛重心；反補三角形中的M點；內心垂足三角形中的共軛重心；垂心的反垂足三角形中的M點；內切點三角形中的餘弦圓圓心等等。