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切瓦定理
鎖定
- 中文名
- 切瓦定理
- 外文名
- Ceva theorem
- 提出者
- Giovanni Ceva
- 提出時間
- 1678年
- 適用領域
- 歐幾里德幾何
- 應用學科
- 數學
- 相關術語
- Ceva線,Ceva三角形,Ceva共軛
切瓦定理內容
切瓦定理是關於三角形在歐幾里德幾何平面的定理,在三角形ABC中,將線AO,BO和CO從頂點繪製到公共點O(不在ABC的一側),以分別在D,E和F處遇到相對側,段AD,BE和CF稱為切氏線(cevian),然後,使用有符號長度的段
[1]
,
換句話説,根據在線的某個固定方向上A是在B的左側還是右側,長度AB被認為是正的或負的。例如,當F在A和B之間時,AF/FB被定義為具有正值,否則定義為負。
反過來也是如此:如果分別在BC,AC和AB上選擇點D,E和F,那麼
切瓦定理與梅內勞斯定理非常相似,它們的方程式僅在符號上有所不同。
切瓦定理證明
首先,左邊的符號是正的,因為所有三個比率都是正的,O在三角形內部的情況(圖1),或者一個是正的而另外兩個是負的,情況O是在三角形外面。
要檢查幅度,請注意給定高度的三角形區域與其基準成比例。所以
使用梅內勞斯定理也可以很容易地證明該定理
[2]
,從三角形ACF的橫線BOE,
反過來作為推論。設D,E和F分別在線BC,AC和AB上,使得等式成立,AD和BE在O點相交,F'是CO與AB的交點。然後根據該定理,該等式也適用於D、E和F',比較兩者可得: