莫爾斯引理

莫爾斯引理是關於勢函數在非退化定態點附近定性性質的重要命題。

設f:Rⁿ→R 為一光滑函數，u是它的一個非退化定態點，則在u的某個鄰域U內存在一個局域座標變換Y=(y₁,y₂,..,y_n)，滿足y_i(u)=0(i=1,2,...,n)，使得對於一切u∈U，函數f在此局域座標中變為二次型f

稱為莫爾斯標準型，或莫爾斯k級鞍。式中負項個數k是一個重要參數，稱為非退化定態點的指數。

k為拓撲不變量，不因座標變換而改變。

莫爾斯引理保證每個非退化定態點通過一個光滑可逆座標變換為一個k級莫爾斯鞍點。

k滿足條件0≤k≤n,k=n時勢函數在0點取極大值，k=0時勢函數在0點取極小值，都不是真鞍點。0<k<n時0點才是鞍點。 ^[1] 

對於一元勢函數V(X)，引理保證它在莫爾斯點附近與拋物線函數V=±y²有相同的定性性質。

勢函數的構造是人工勢場方法中的關鍵問題。勢函數其值為物理上向量勢或是標量勢的數學函數，又稱調和函數，是數學上位勢論的研究主題，同時在平攤分析（amortized analysis）的勢能法中，用來描述過去資源的投入可在後來操作中使用程度的函數。

滿足以下條件的連續函數

稱為勢函數：

(1)

；

(2)存在

，使得

在

上單調遞增，在

上單調遞減，並稱

為此勢函數的中心點，

為此勢函數的高度。