莫爾斯函數

莫爾斯函數是微分拓撲學的一個重要函數。

微分流形M到R的函數，其臨界點都是非退化的。設M是n維微分流形，f:M→R為C^∞函數，p∈M是f的臨界點，(U,φ)是M的含p的卡，座標函數為(x₁,x₂,...,x_n)，則

記

稱為f關於卡(U,φ)在p處的海賽矩陣。若海賽矩陣H_f(p)非退化，則稱p是f的非退化臨界點，此時H_f(p)的負特徵值個數稱為p的指數。臨界點p的非退化性及指數與含p的卡的選取無關。

下述著名的莫爾斯引理給出光滑函數f在非退化的臨界點鄰域的局部性質。

設p∈M是C^∞映射f:M→R的指數為r的非退化臨界點，則存在M的含p的卡，使得φ(p)=0，並且∀u=(u₁,u₂,...,u_n)∈φ(U)，

微分流形M上的光滑函數f:M→R，若f所有的臨界點都是非退化的，則稱為莫爾斯函數。

由莫爾斯引理知，當M是緊緻流形時，M上的莫爾斯函數僅有有限個臨界點。

莫爾斯函數的所有臨界點的集合為M的離散閉子集。 ^[2] 

對於任意微分流形M，M上的全體莫爾斯函數的集合在

中是開的稠密子集。

由於M上的莫爾斯函數與M的拓撲性質有密切關係，所以莫爾斯函數是一類有重要意義的函數，它的性質有着廣泛應用。例如，黎泊定理、緊緻曲面的拓撲分類等都用到它。 ^[1]