-
良序集
鎖定
- 中文名
- 良序集
- 外文名
- well-ordered set
- 所屬學科
- 集合論
良序集定義
良序集簡介
等價地説,良序是良基的線序。
良序集良序的例子及反例
1、自然數集在通常序下是良序集。
2、整數集在通常序下不是良序集,例如該集合本身就沒有一個極小元。
3、整數的下列關係R是良序的:x R y,當且僅當下列條件之一成立:
x=0;
x是正數,而y是負數;
x和y都是正數,而x≤y;
x和y都是負數,而y≤x。
這個序關係可以表示為:
0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……
4、實數集在通常序下不是良序集。
良序集良序的性質
在良序集合中,除了整體上最大的那個,所有的元素都有一個唯一的後繼元:比它大的最小的元素。但是,不是所有元素都需要有前驅元。作為例子,考慮自然數的一個次序,這裏的所有偶數都小於所有奇數,並在偶數和奇數內應用正常的次序。
- 0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...
這是個良序集合並被指示為ω+ω。注意儘管所有元素都有後繼元(這裏沒有最大元素),有兩個元素缺乏前驅元:零和一。
如果一個集合可被良序化,超限歸納法證明技術可以用來證明給定陳述對於這個集合的所有元素為真。
良序集良序的等價條件
對全序集(S,≤),下列命題是等價的:
(1)(S,≤)是良序集,即其所有非空子集都有極小元。
(3)(S,≤)上的所有嚴格遞減序列必定在有限多步驟內終止(假定依賴選擇公理)。
證明:使用循環證明法。
(1)→(2):反設超限歸納法在(S,≤)上不成立,則存在一個性質φ,使得對S中任意元素x,只要φ對S中小於x的任何元素都成立,那麼φ對x也成立,然而φ並非對S中所有元素都成立,即S中所有不滿足φ的元素組成的集合A是非空集,則A在序關係≤下不可能有最小元素,否則該最小元素應滿足φ,矛盾。
(2)→(3):對序列的首項使用超限歸納法,則結論是顯然的。
- 詞條統計
-
- 瀏覽次數:次
- 編輯次數:16次歷史版本
- 最近更新: 敏格格smile