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舒爾不等式
鎖定
舒爾不等式，數學術語，即a,b,c≥0,t∈R⇒at(a-b)(a-c)+bt(b-c)(b-a)+ct(c-a)(c-b)≥0。
- 中文名
- 舒爾不等式
- 外文名
- Schur's inequality
- 提 出
- 舒爾
- 學 科
- 數學
- 證明時間
- 2007年
舒爾不等式基本介紹
特別地，當t為非負偶數時，此不等式對任意實數a,b,c成立。
Schur不等式雖不是聯賽大綱中規定掌握的不等式，但在聯賽不等式證明題中仍能發揮重要作用。
舒爾不等式證明
對t=1的證明：
由對稱性，不妨設a≥b≥c，
a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=(a-b)^2*(a+b-c)+c(c-a)(c-b)≥0，證畢。
對t∈R的證明：
由對稱性，不妨設a≥b≥c，則a^t-b^t+c^t≥0。
at(a-b)(a-c)+bt(b-c)(b-a)+ct(c-a)(c-b)=at(a-b)²+(a-b)(b-c)(at-bt+ct)+ct(b-c)²≥0，證畢。
舒爾不等式推論
1、a,b,c≥0⇒(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤abc。
2、三角形中，a,b,c為角A,B,C所對的三邊⇒cosA+cosB+cosC≤3/2。
3、三角形中，R≥2r。
舒爾不等式推廣
假設a、b、c是正的實數。如果（a，b，c）和（x，y，z）是順序的，則以下的不等式成立：
舒爾不等式
2007年，羅馬尼亞數學家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式：
舒爾不等式
當x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = m[sup]r[/sup]時，即化為舒爾不等式。
舒爾不等式的如下兩個變形形式在解題中非常有用
變形1：
變形2：
事實上，把①展開即得變形1，因為
,代入變形1，得
所以
下面引用三個例題來介紹舒爾不等式的用法
例題1：設x，y，z≥0，且x+y+z=1，求證：
0≤yz+zx+xy-2xyz≤7/27
證明：由舒爾不等式的變形2可得;
有題設條件
可得
另一方面，
從而命題得證。
例題2
證明：在△ABC中有
證明：令
,則由舒爾不等式可得
所以
例題3：設x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，求證：
證明：因為x+y+z=xyz, 所以上式等價於
等價於
即
這就是舒爾不等式的變形1，故原命題得證！
