自由變量

通常稱變量x在謂詞公式

和

中的出現為約束出現； 並稱A為

和

的作用域(或轄域)。如果變量x在公式A中的某次出現是在A的分子公式中的約束出現，則稱x的該次出現是約束出現；若變量x在公式A的某次出現不是約束出現，就稱該出現為自由出現。 在公式A中有自由出現的變量稱為自由變量，在公式A中有約束出現的變量稱為約束變量。

例如，謂詞公式

，從左向右算起，變量x的第一、二、三次出現是約束出現，第四次出現是自由出現，變量

則全是自由變量。

可以看出，一個變量可以既是約束變量，又是自由變量。

顯然，公式

和公式

的真值相同，同樣， 公式

和公式

的真值也相同。也即，謂詞邏輯中的謂詞的真值與謂詞中的約束變量的記法無關。因此，可引入改名規則：若打算把某謂詞公式中的量詞(Qx)換成(Qy)，則y必須是在該(Qx)的作用域內不出現的變量，並且把該(Qx)的作用域內一切自由出現的x換成y。(其中，Q為

或

)

例如，對於

可改名為

。

因此，在謂詞邏輯的一個表達式中，總可以通過改名規則，使得該表達式中所有的約束變量都不是自由變量，於是，所有的自由變量也都不是約束變量。

用x\p來表示“變量x在p中不是自由的”。如果x\p且x\q，那麼在複合公式

中，x也不是自由變量。當變量在集合表達式中聲明時，它總為約束變量。例如：

在該集合表示中，變量n是約束變量。N是自然數集，n：N表示n是自然數集中的一個元素。定義的謂詞部分還引入另一個約束變量m。在此定義中，max是自由變量，若處於規格説明的上下文中，常常假定它已在前面被聲明過。渭詞

的含義是：存在一個m，使得n等於m乘以max，其中，m是一個自然數。 ^[1]