自由幺半羣

更一般地，一抽象幺半羣(半羣)S被稱做是自由的，若其與某一集合上的自由幺半羣(半羣)同構。

如其名稱所述，自由幺半羣(半羣)為滿足定義了自由對象的泛性質的對象，在幺半羣(半羣)的範疇裏。它允許每一個幺半羣(半羣)都會是某一自由幺半羣(半羣)的同態映像。研究半羣為自由半羣的映像的學科稱做組合半羣理論。

集合A的元素稱為A*和A是自由生成元。更一般地講，若S是一抽象自由幺半羣(半羣)，則有一集合含有映射至與A*(A)同態的單字母集合的元素，此集合稱為S的“自由生成元集合”。

每一自由幺半羣(半羣)S會有一個且只有一個自由生成元集合，其勢則稱做S的“秩”。

兩個自由幺半羣(半羣)同構當且僅當它們擁有相同的秩。而事實上，自由幺半羣(半羣)S的每一生成元集合都會包含其自由生成元。這使得一個自由幺半羣(半羣)會是有限生成的當且僅當它的秩是有限個的。 ^[1] 

自然數(包括零)在加法下的幺半羣(N,+)是一有單一產生元(即其秩為一)的自由幺半羣。它唯一的自由產生元為數字一。

設Σ是一有限字母表，則Σ*包含於Σ之上的所有文字，於形式語言理論的意思之下。因此，形式語言的抽象研究可以想成是有限產生自由幺半羣子集的研究。且幺半羣理論和自動機理論是有着很深的關聯性的。例如，於Σ以上的正則語言會是有限幺半羣子集的Σ*的同態像原。

例如，若A={a,b,c}，A*的元素會是下列的形式

若A是一集合，則在A*上的字長函數是由A*至N的唯一幺半羣同態，其將A的每一個元素都映射至1。 ^[1] 

給定一集合A，則在A上的自由可交換幺半羣是指由A內元素形成之復集所組成的集合。這形成了以復集聯合為二元運算的可交換幺半羣。

例如，若A= {a,b,c}，於A上的自由可交換幺半羣元素會是下列的形式