自同構羣

自同構羣是一種重要的幾何變換羣。是幾何學分類的依據。設S是給定的空間，U是S上的一個圖形，若S到自身的一個變換g把U變到U自身，則稱g是關於U的自同構變換，簡稱關於U的自同構。S上關於U的自同構變換的全體構成一個變換羣，稱它為關於U的自同構羣。在變換中保持不變的這個圖形U稱為絕對形。例如，在射影平面上取一條直線作無窮遠直線，則在射影平面上保持無窮遠直線不變的自同構射影變換構成一個變換羣，它是關於無窮遠直線的自同構羣，同時它也是二維射影變換羣的子羣，即仿射變換羣。 ^[1] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足： ^[2] 

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

一組變換，對變換的乘積構成的羣。設G為M上的有限或無限個變換的集合，若滿足下面兩個條件：①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G；②集合G中每一個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換羣。

例如，平移變換可以構成一個羣：平面上任意兩個平移變換的積仍是平移變換;每個平移變換都有逆變換，這個逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換。

用變換羣來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的.1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換羣在幾何中的主導作用。他把到當時為止已發現的所有的幾何，統一在變換羣的觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個變換羣之下研究圖形不變性質與不變量的一門科學。這種觀點突出了變換羣在研討幾何中的地位，為用近代數學方法研究幾何學開闢了道路，因此後來把它簡稱為《埃爾朗根綱領》。

按照變換羣的觀點，幾何學可以這樣分類：研究射影變換羣、仿射變換羣、相似變換羣、正交變換羣下不變性質和不變量的幾何學分別是射影幾何學、仿射幾何學、拋物幾何學、歐氏幾何學。正交變換羣也稱為運動羣，歐氏幾何學的主要內容就是研究運動羣下不變性質和不變量的幾何學。近代發展很快、應用越來越廣的一門學科——拓撲學，就是研究拓撲變換下不變性質和不變量的幾何學。

兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。

建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。

同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。

簡稱仿射羣。一類基本的變換羣。即由仿射空間中全體仿射變換所構成的變換羣。例如，平面上的全體仿射變換構成平面上的仿射變換羣，它是平面射影變換中以無窮遠直線為絕對形的自同構羣。空間中全體仿射變換構成空間的仿射變換羣，它是空間射影變換中以無窮遠平面為絕對形的自同構羣。研究在仿射羣下不變性質與不變量的幾何稱為仿射幾何。 ^[3]