自反關係

設A，B是兩個集合，R是A×B的任意一個子集，即

則稱R為從集合A到集合B的一個二元關係，簡稱為從A到B的一個二元關係。

若

稱R為空關係。

若R=A×B，稱為全關係。

當A=B時，稱二元關係

為A上的二元關係。

當A=B時，記

稱之為A上的恆等關係。 ^[2] 

定義1 令R是A上的二元關係，若對於A中的每個

都有

，則稱R具有自反性(或稱R是自反關係)。

即R是A上的自反關係

。 ^[3] 

定義2 令R是A上的二元關係，若不存在A中的

，使得

，則稱R具有反自反性(或稱R是反自反關係)。

即R是A上的反自反關係

。 ^[3] 

自反的關係亦稱“具有反身性的關係”。對於類K中一個確定的關係R來説，若類K中任意的個體和它自身都具有關係R，則稱關係R在類K中為自反的關係。若類K中沒有一個個體和它自己具有關係R，則稱關係R在類K中為反自反的關係。若類K中有的個體和它自己具有關係R，而有的個體和它自己不具有關係R，則稱關係R在類K中為非自反的關係。例如，設類K為實數域，則等於關係“=”是自反的關係，大於關係“>”，小於關係“<”都是反自反的關係。“x的平方數是Y”的這種關係就是非自反的關係。因為0的平方數是0，1的平方數是1，即當x為0(或1)時，y也同時為0(或1)，但當x為其它實數時，x的平方數y就不能再與x相同了。所以，“x的平方數是y”的這種關係就既不是自反的關係，也不是反自反的關係，而是非自反的關係。 ^[4] 

【例1】設A={1，2，3，4}，下列幾個是A 上的二元關係。

R₁={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<3，4>，<4，1>，<4，4>}；

R₂={<1，1>，<1，2>，<2，1>}；

R₃={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>}；

R₄={<2，1>，<3，1>，<3，2>，<4，1>，<4，2>，<4，3>}；

R₅=(<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，3>，<3，4>，<4，4>}；

R₆={<3，4>}。

其中，哪些是自反關係? 哪些是反自反關係?

解: 關係R₃，R₅是自反的，因為它包括所有形如<a，a>的序對。關係R₄，R₆是反自反的，因為它不包括任何形如<a，a>的序對。而關係R₁，R₂既不是自反的，也不是反自反的。因為R₁中包含<1，1>，<2，2>，<4，4>，但不包含<3，3>；R₂中包含<1，1>.但不包含<2，2>，<3，3>，<4，4>。

自反性和反自反性可以在關係圖和關係矩陣上非常直觀地反映出來。

例1中R₃，R₅的關係圖如圖1、2所示。

可見自反關係的關係圖的每個結點上均含有自環。

R₃，R₅的關係矩陣

可見自反關係的關係矩陣的對角線上的元素全為1。

而R₄，R₆對應的關係圖每個結點上都沒有自環，對應的關係矩陣對角線上元素的值全有0，因此是反自反關係。 ^[3]