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空關係

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空關係是一種特殊關係，指關係集A×B中的子集∅。非空集合中的空關係是反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的，但不是自反的；空集合中的空關係則是自反的、反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的。非空集合的空關係的矩陣各元素都是0。 [1] 
中文名
空關係
外文名
emptyrelation
所屬學科
離散數學
符號表示
∅
相關概念
二元關係、全關係、反自反性等
定    義
關係集A×B中的子集∅

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 例題解析
  3. 3 二元關係的性質

空關係定義

定義1 設A，B是兩個集合，R是A×B的任意一個子集，即
則稱R為從集合A到集合B的一個二元關係，簡稱為從A到B的一個二元關係。
若
稱R為空關係。
若
稱為全關係。
當
時，稱二元關係
為A上的二元關係。
當
時，記
稱之為A上的恆等關係。
空關係是一種特殊關係，指關係集A×B中的子集∅。非空集合中的空關係是反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的，但不是自反的；空集合中的空關係則是自反的、反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的。非空集合的空關係的矩陣各元素都是0。 [1] 
定義2 集合A上的關係是從A到A的關係。
集合A到它自身的關係是特別令人感興趣的。
通常集合A上不同關係的數目依賴於A的基數。如果|A|=n,那麼|A×A|=n2，可知A 上關係的子集有
個，因為一個子集代表一個A 上的關係，所以A 上的關係有
個不同的二元關係。
例如
，則在A上可以定義
個不同的關係。當然，大部分的關係沒有什麼實際意義，但是,對於任意集合A都有3種特殊的關係，它們是:
定義3 稱
為A上的空關係，稱
為A上的全關係，稱
為A上的相等關係(或恆等關係)。 [2] 

空關係例題解析

例1 設
R是P(A)上的包含關係，
則
有
。
。
例2 給定一個非空集合A，試討論集合A上的全域關係A×A以及空關係
的性質。
解：(1)全域關係
顯然有自反性、對稱性和傳遞性，但顯然沒有反自反性。
至於反對稱性，要看集合A的元素個數而定。
情形一：如果
那麼顯然它上面的全域關係有反對稱性。
情形二：如果
，那麼顯然它上面的全域關係沒有反對稱性。
(2) 因為A是非空集合，所以容易驗證A上的空關係
有對稱性、傳遞性、反自反性、反對稱性，但沒有自反性。 [3] 

空關係二元關係的性質

設R是集合A上的一個二元關係，即
，於是
(1)若對於
，滿足
則稱關係R有自反性，或稱R是A上的自反關係。
(2)若對於
，滿足
則稱關係R有反自反性，或稱R是A上的反自反關係。
(3)若對於
，滿足當
有
則稱關係R有對稱性。或稱R是A上的對稱關係。
(4)若對於
，滿足當
且
有
，則稱關係R有反對稱性，或稱R是A上的反對稱關係。
(5)若對於
，滿足當
且
時，有
則稱關係R有傳遞性，或稱R是A上的傳遞關係。 [4] 
注：1. 有自反性的關係一定沒有反自反性，有反自反性的關係也一定沒有自反性，這説明自反性與反自反性不可能共存於同一個關係之中。但是有這樣的關係存在，它既不是自反的，也不是反自反的。
2. 對稱性和反對稱性有可能共存於同一個關係之中。同時也存在這樣的關係，它既不是對稱的，也不是反對稱的。 [3] 
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第一卷：中國科學技術出版社，2002.08
  • 2.    謝勝利．離散數學基礎 第2版：清華大學出版社，2016.02
  • 3.    張明堯．離散數學：機械工業出版社，2008.7
  • 4.    朱保平，李千目．形式語言與自動機：清華大學出版社，2015.08