線性泛函延拓定理

線性泛函延拓定理亦稱哈恩-巴拿赫延拓定理，是將線性子空間上的線性泛函延拓到整個空間的一個著名定理。

設p(x)是線性空間E上的半範數，E₀是E的線性子空間，如果在E₀上定義的線性泛函f(x)滿足|f(x)|≤p(x)，則能把f(x)延拓到全空間E上並使得上面不等式在E上仍成立。

把線性泛函延拓定理應用到賦範線性空間X有下列結論：

1、設M是X的線性子空間，則M上任何一個有界線性泛函都可保持範數不增大地延拓為X上有界線性泛函。

2、對任一非零向量x₀∈X，存在X上的有界線性泛函f_0，滿足f₀(x₀)=‖x₀‖，‖f₀‖=1。

3、對X的任一閉線性子空間M及向量x₀∈X\M，存在X上的有界線性泛函f_0，使得f₀(x₀)>1，‖f₀‖<d^-1，且當x∈M時恆有f(x)=0，而d = inf‖x₀-x‖(即x₀到M的距離)。

線性泛函延拓定理是泛函分析中的一個重要定理，它是研究對偶理論的主要工具，它保證了賦範線性空間的對偶空間是非平凡的。 ^[1]