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線性微分方程組
鎖定
線性微分方程組（first order linear differentialequation system）是由幾個微分方程聯立起來共同確定幾個具有同一自變量的函數的情形，這些聯立的微分方程稱為微分方程組。
[1]
- 中文名
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線性微分方程組
- 外文名
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Linear Differential Equations
- 所屬學科
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數學
- 相關概念
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線性微分方程、線性方程等
線性微分方程組定義
線性
微分方程組是具有完整構造性質和廣泛應用的一類常微分方程組，如果方程組
的左端各函數
包含的各未知函數及其各階導數都是一次的，則稱方程組(1)為
線性微分方程組。如果線性微分方程組中各未知函數的導數均為一階的，則稱為
一階線性微分方程組。其一般形式可寫為
方程組(2)或(3)亦可稱為
n階線性微分方程組（注意方程的階與方程組的階的定義），在(2)及(3)中，若
，則稱為
齊次線性微分方程組；若相應的
，則稱為
非齊次線性微分方程組。
[2]
注意點：一般地，線性微分方程組均可化為一階線性微分方程組的典則形式。
[2]
線性微分方程組一階線性微分方程組
因為
常微分方程的所有數值算法都是以一階微分方程組為求解對象的，而任何階的常微分方程都可轉化為一階微分方程組的形式，故需要學習一階微分方程組的解法。可使用求解
代數方程組的高斯消元法求解一階微分方程組。
[3]
高斯消元法是求解
線性方程組直接法中最常用和最有效的方法之一，其基本思想就是逐次消去一個未知數，使方程變換為一個等價方程組，然後求解該等價方程組，通過回代得到的解，再求解原方程的解。下面以例題介紹一階線性微分方程組的解法。
例題1 解一階微分方程組。
解：該一階線性微分方程組含有自變量t，兩個因變量
和
，不能直接分離變量。故使用
高斯消元法求解該方程組。從第一個方程解出y得
使用求解
二階線性微分方程的方法求解二階線性微分方程，解出後代入式
，可解出y。
[3]
線性微分方程組高階常係數線性微分方程組
常係數線性微分方程組的求法：
(1)從方程組中消去一些未知函數及其各階導數，得到只含有一個未知函數的高階常係數線性微分方程。
(2)解此高階微分方程，求出滿足該方程的未知函數。
(3)把已求得的函數代入原方程組，一般來説。不必經過積分就可求出其餘的未知函數。
[1]
例題2 解方程組
解：用
消元法求解該方程組，消去
較為簡便。用
乘第一個式子與第二個式子相加，得
- 參考資料
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1.
王建福．高等數學同步輔導及習題全解 同濟·第6版 上冊：中國礦業大學出版社，2008.08
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2.
《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第三卷：中國科學技術出版社，2002.08
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3.
陳晉南，彭炯．高等化工數學 第2版=ADVANCED CHEMICAL ENGINEERING MATHEMATICS （2ND EDITION）：北京理工大學出版社，2015.04
