經典場論

某些最簡單的物理場是向量力場。歷史上，第一次認真考慮了場的是法拉第表述電場的電場線。然後重力場採用了相同的表述方式。

描述重力的經典場論是萬有引力，其中重力是兩個物質之間的相互作用。

一個具有重力質量m的粒子，在重力場中受到一個力F。我們可以定義重力場強度

。 我們要求探測質量m小到它的出現不擾動重力場。牛頓引力定律説兩個相隔距離r的粒子，受到如下的力的作用：

應用牛頓第二定律（對於常數慣性物質）

，而觀察慣性質量和引力質量的實驗觀察是相等的，並且達到了空前的精度。這可以導出重力場強度g的定義：

一個帶電測試粒子，電荷q，受到一個力F，完全基於它的電荷。我們可以類似地表述電場E，使得

。利用這個和庫侖定律，我們定義單個電荷粒子產生的電場是：

經典場論的現代表述通常要求洛倫茲共變性，因為這現在被認為是自然的基本原理。一個場論傾向於在數學上用拉格朗日量來表達。這是一個函數，用於作用原理，並給出場方程和一個該理論的守恆定律。

我們的單位全部採用c=1。

我們有一個場張量（可以是任意階的張量），為簡單起見，我們將採用一個標量ϕ。我們從這個量和它的導數構造一個標量，稱為拉格朗日量密度L(ϕ,∂ϕ,∂∂ϕ,...,x).

然後我們通過在時空積分從這個密度構造泛函作用：

然後通過施行最小作用量原理我們得到歐拉－拉格朗日方程

下面給出兩個最著名的洛倫茲協變經典場論。

歷史上，第一個（經典）場論是（分別）表述電場和磁場的。在大量試驗之後，這兩個場被發現是相關的，或者説，事實上，它們是同一個場的不同方面：這個場就是電磁場。麥克斯韋的電磁場理論描述了電磁場和帶電物體的相互作用。這個場論的第一個表述採用向量場來描述電和磁場。隨着狹義相對論的發展，一個更好（而且更符合力學）的表述採用了張量場。這個表述採用一個表示兩個場的張量而不是兩個向量場分別表述電場和磁場。

我們有電磁四維勢，Aa=(−ϕ,A→)，和四維電流密度ja=(−ρ,j→)。每一點的電磁場可以用反對稱(0,2)-階電磁場張量（法拉第2－形式）表述

拉格朗日函數

要得到場的動力學，我們要嘗試從這個場構造一個標量。在真空中，我們有L=−14μ0FabFab.我們可以利用規範場論得到相互作用項，而它給出

上式和歐拉－拉格朗日方程一起，給出所需的結果，因為E-L方程給出

在一些簡單的代數運算之後，這給出

於是得到一個向量方程，也就是真空麥克斯韋方程組。另外兩個可以從F是A的四維旋量這個事實得到：

其中逗號表示偏微分。

主條目：愛因斯坦-希爾伯特作用量

牛頓重力被發現和狹義相對論不一致後，愛因斯坦給出了引力的新理論稱為廣義相對論。這將引力作為由質量引起的幾何現象（'彎曲時空'）表述，而重力場是用一個稱為度量張量的張量場來表示。愛因斯坦場方程描述了這個曲率如何引入。這個場方程可以用愛因斯坦-希爾伯特作用量導出。拉格朗日量

其中R=Rabgab是裏奇標量，用裏奇張量Rab給出，而度量張量gab，將給出真空愛因斯坦場方程：

其中Gab=Rab−R2gab是愛因斯坦張量。