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素環
鎖定
素環是一類重要的環。若環R的零理想是素理想,則稱R為素環。整環、單環、本原環都是素環。素環與素理想有如下關係:P是R的素理想當且僅當R/P是素環。
- 中文名
- 素環
- 外文名
- prime ring
- 適用範圍
- 數理科學
素環簡介
設 R 為環,P 為 R 的理想。若對於 R 的任意理想
都有
,則稱 P 為 R 的一個素理想(prime ideal)。若零理想是環 R 的素理想,則稱 R 為一個素環。例:非交換整環、單環、(左或右)本原環為素環。
若環 R 的理想 Q 滿足:對於使得
的任意理想 I 都有
,則稱 Q 是 R 的半素理想。若 R 的零理想是半素理想,則稱 R 為半素環(semiprime ring)。環 R 為半素環當且僅當 R 為素環當次直積,當且僅當 R 中所有素理想的交為零。
[1]
素環準素環
素環定義
若局部環R的雅各布森根是冪零的,則稱R為完全準素環(completely primary ring)。
完全準素環R上的全矩陣環稱為準素環。
幺環R為左阿廷環當且僅當它既是左諾特又是半準素環。
素環性質
例如,域是準素環。
若交換環R的準素理想Q有極大理想M作為其相伴素理想,則R/Q也是準素環。
任意滿足降鏈條件的有1交換環R,可惟一分解為諾特准素環的直和。