米田引理

存在雙射

將自然變換α:h_X→A映射到α_X1_X，α:k_X→B映射到α_X1_X。 ^[2] 

設函子E',N':Set^Cop×C→Set，其中計算函子E'將對象<A,X>打到A(X)；N'將對象<A,X>打到Hom(h_X,A)，將態射<F:A→A',f:X→X'>打到Hom(h_f,F)。

設函子E,N:Set^C×C→Set，其中計算函子E將對象<B,X>打到B(X)；N將對象<B,X>打到Hom(k_X,B)，將態射<F:B→B',f:X→X'>打到Hom(k_f,F)。

則y:N→E與y':N'→E'為自然同構，對所有變元

都滿足函子性。

函子

與

是滿忠實函子。 ^[2] 

設

為有小態射集的範疇 ^[2]  ，定義兩個函子範疇如下：

並定義兩個函子

與

為：

由上述推論，範疇中的對象X由它所表示的函子

或

唯一確定（至多差一個同調），這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中，一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子，後者往往具有直觀的幾何詮釋，技術上亦較容易處理；另一方面，我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題，第一步是定義適當的“函子解”，其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。 ^[1]