等角共軛點

描述一：三角形內一點P，過A做直線L₁與AP關於角A的角平分線對稱，同樣過B,C分別做L₂,L₃。這三條直線交於P₁，則P₁是P的等角共軛點；

描述二：設P、Q是三角形ABC內兩點，∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA，滿足題設條件的兩點P、Q稱為△ABC的等角共軛點。

幾何學中，設點P是三角形ABC平面上一點，作直線PA、PB和PC分別關於角A、B和C的平分線的反射，這三條反射線必然交於一點，稱此點為P關於三角形ABC的等角共軛。（這個定義只對點，不是對三角形ABC的邊。）

點P的等角共軛點經常記作P*，顯然P*的等角共軛點即為P。

1.重心的等角共軛點到三角形的三邊的距離的平方和最小。

2.外接圓上一點的等角共軛點是無窮遠點。反過來也成立（摘自約翰遜《近代歐氏幾何學》） ^[1] 

3.從兩個等角共軛點到各邊的垂線的垂足在一個圓上，即等角共軛點有一個公共的垂足圓，圓心是二者連線中點。（摘自約翰遜《近代歐氏幾何學》）

4.一點的垂足三角形的邊，垂直於原三角形相應頂點與這點的等角共軛市點的連線。（摘自約翰遜《近代歐式幾何學》）

5.設P，Q為等角共軛點。則： ^[2] 

∠A₂PA₃+∠A₂QA₃=∠A₂A₁A₃.（摘自約翰遜《近代歐氏幾何學》）

6.設任一圓交三角形邊於P₁、Q₁、P₂、Q₂、P₃、Q₃，則三個點的組P₁P₂P₃與Q₁Q₂Q₃的密克點P與Q即為等角共軛點。（摘自約翰遜《近代歐式幾何學》）

內心I的等角共軛點是自身。垂心H的等角共軛點是外心O。重心的等角共軛點是類似重心K。 ^[3] 

在三線座標中，如果X=x:y:z是不在三角形ABC邊上的一點，那麼它的等角共軛是 1/x: 1/y: 1/z。因此，X的等角共軛有時也記作X。三角形內部的點集S在三線乘法

下構成一個交換羣。S中任何一點X的逆是X。

因為等角共軛是一個函數，從而我們可以討論一個點集的等角共軛。譬如，直線的等角共軛是一條外接圓錐曲線；確切的，若直線交外接圓於 0、1或 2 點，其等角共軛分別為橢圓、拋物線或雙曲線。外接圓的等角共軛是無窮遠直線。一些有名的三次曲線（例如：Thompson 三次曲線、Darboux 三次曲線、Neuberg 三次曲線）是自等角共軛的，即如果 X 位於這些三次曲線上，那麼X也在其上。