無窮遠直線

在幾何學和拓撲學中，無窮遠直線是一個投影線，被添加到實際（仿射）平面，以便給出所產生的投影平面的入射特性的閉合和除去特殊情況。 無窮遠直線也稱為理想線。 ^[2] 

在投影幾何中，任何一對線總是在某一點相交，但平行線在實際平面中不相交。將無限遠線添加到實際平面。這樣就形成了平面，因為現在的平行線在無窮遠直線上相交。此外，如果任何一對線在無窮遠直線上的某一點相交，則該對線是平行的。

每一行在某一點與無窮遠直線相交。平行線相交的點僅取決於線的斜率，而不是在y方向的截距上。

在仿射平面上，一條線在兩個相反的方向延伸。在投影平面上，一條線的兩個相反方向在無限遠的線上相交。因此，投影平面中的線是閉合曲線，即它們是循環的而不是線性的。無限本身就是這樣的；它在其兩個端點（因此實際上並不是端點）完全符合自身，因此它實際上是週期性的。 ^[3] 

無窮遠直線可以被視為圍繞仿射平面的圓。然而，圓的直徑相對的點是相同的 - 它們是相同的點。仿射平面和無窮遠直線的組合使真實的投影平面

。

雙曲線可以看作是在兩個不同點處與無限遠線相交的閉合曲線。這兩點由雙曲線的兩個漸近線的斜率指定。同樣，拋物線可以看作是一個閉合曲線，在一個點上與無限遠的線相交。這一點由拋物線軸的斜率指定。如果拋物線被其頂點切割成對稱的“喇叭”對，則這兩個喇叭變得更遠離頂點彼此平行，並且實際上平行於軸線並且彼此在無限遠處，使得它們在無限遠的線上相交。

複雜投影平面的模擬是無限遠的“線”，這是（當然）複雜的投影線。在拓撲學上，這是完全不同的，因為它是一個黎曼球體，因此它是一個2球體，被添加到C（如此四個實際尺寸）上的兩個維度的複雜仿射空間中，從而形成四維緊湊型歧管。結果是可定向的，而真正的投影平面不是。

無窮遠的複雜線在十九世紀的幾何學中被廣泛使用。事實上，最適用的技巧之一是將圓圈視為一個圓錐，限制在無窮遠處通過兩個點，下列方程的解： ^[4] 

X² + Y² = 0。

當我們在X和Y中刪除較低階的項時，這個方程是由任何一個圓的形式。更正式地，我們應該使用均勻座標：

[X：Y：Z]

並注意無限遠的行通過設置來指定：

Z = 0。

通過引入Z的能量，然後設置Z = 0來使等式均勻化，精確地消除低階條件。

因此，解決這個方程，我們發現所有的圓圈都能通過無限遠的循環點：

I = [1：i：0]和J = [1：-i：0]。

這些當然是複雜的點，任何代表一組齊次座標。由於投影具有足夠大的對稱性，所以它們並不是特別的。結論是，三參數族圓可以被視為通過兩個給定的不同點P和Q的圓錐曲線的線性系統的特殊情況。