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等價矩陣

在線性代數和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那麼這兩個矩陣之間是等價關係。也就是説，存在可逆矩陣（P、Q），使得A經過有限次的初等變換得到B。

中文名: 等價矩陣
外文名: Equivalent matrix
學科: 數學

特點: 自反性、對稱性、傳遞性
類型: 等價關係
相關名詞: 相似矩陣

等價矩陣證明

a₁,a₂,....a_n,線性無關，而a₁,a₂,....a_n,b,r線性相關，所以有x₁a₁+x₂a₂+....x_na_n+xb+yr=0,若y=0,則x₁a₁+x₂a₂+....x_na_n+xb=0,説明a₁,a₂,....a_n,b線性相關，同理x=0,可得a₁,a₂,....a_n,r線性相關。若x,y都不為零，兩邊除以x可得-b=（x₁/x)a₁+(x₂/x)a₂+...+(xn/x)an+(y/x)r,這表示b可以用a₁,a₂,....a_n,r.表示。若除以y可證明r可以用a₁,a₂,....a_n,b表示。這就説明a₁,a₂,....a_n,b與a₁,a₂,....a_n,r等價.綜合可得命題得證。

當A和B為同型矩陣，且r（A）=r（B）時，A，B一定等價。