空間向量分解定理

(空間向量分解定理) 如果三個向量

不共面，那麼對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組

，使 ^{[1]  [2]} 

設

不共面(圖1)，過點O作

，過點P作直線PP'平行於OC，交平面OAB於點P'，在平面OAB內，過P'作直線

分別與直線OA，OB相交於點M，N，於是存在三個實數x，y，z，使

即

以下證明表達式(

)是唯一的：

令

由於

不共面，可推出

叫做向量

的線性表達式或線性組合。

由上述定理可知，如果三個向量

是不共面的向量(線性無關)，那麼

的線性組合

能生成所有的空間向量，這時

叫做空間的一個基底，其中

都叫做基向量。同時可知，空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底。

(

)式叫做向量p的沿基向量的分解式。

如果

，那麼(x，y，z)叫做向量p關於

的座標 ^[1]  。

設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使

已知空間四邊形OABC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG=2GN，試寫出向量

沿基底

的分解式(圖2) ^[1]  。

解： 由線段中點的向量表達式，得