稠密集

在度量空間(E,d)中，也可以如下定義稠密集。當X的拓撲由一個度量給定時，在X中A的閉包是A與A中元素的所有數列極限（它的極限點）的集合的並集，

那麼當

A在X中是稠密的。即A在X中稠密當且僅當A的閉包是X。

注意

。如果

是一個完備度量空間X中稠密開集上的序列，則

在X上依然稠密。這個事實與貝爾綱定理中的一個形式等價。 ^{[1]  [2]} 

（1）A在X中稠密的充要條件是，對於任意一個x∈X，在x的任何鄰域內都有A的點。這條性質有時也被作為稠密集的另一種定義。

必要性：因為A在X中稠密，所以

，所以

。於是根據閉包的性質，x的任何鄰域與A的交集都不空，即x的任何鄰域內都有A的點。反過來推導即可證明充分性。

（2）若A在X中稠密，則對於任意一個x∈X，在A中都能找到一個點列{x_n}，使得{x_n}收斂於x。

證明：

，即x要麼是A的內點，要麼是A的邊界點。若x是內點，因為內點必是聚點，於是根據聚點的定義，存在某個各項互異的點列{x_n}，使得{x_n}收斂於x，命題得證。若x是邊界點，因為邊界點可能是聚點，也可能是孤立點，又分為兩種情況。若x是邊界點中的聚點，則命題得證。若x是邊界點中的孤立點，由孤立點的定義，x∈A，於是可取常數列{x}，而常數列總是收斂的。

1.每一拓撲空間是其自身的稠密集。

2.有理數域和無理數域是實數域中的稠密集（在通常拓撲意義下）。

3.度量空間M是其完備集γM中的稠密集。 ^[1]