獨立性

若

兩事件滿足等式

則稱事件A與B相互獨立。 ^[1] 

(1) 概率為零的事件與任何事件相互獨立；

(2) 當

時，

相互獨立與

互不相容不能同時成立，它們是完全不同的兩個概念：

相互獨立是從概率的角度來考慮的，

互不相容是從事件本身來考慮的。

定理1 設

是兩事件。且

，若

相互獨立。則P(A|B)=P(A)，反之亦然。

定理2 若事件A與B相互獨立，則

與

，

與

，

與

也相互獨立。

證明: 這裏只證明

與

相互獨立。

由

，

得

所以

與

相互獨立。 ^[1] 

設

為3個事件，如果滿足等式

則稱事件

相互獨立。

對

個事件的獨立性，可類似寫出其定義。 ^[1] 

一般地，設

是

個事件，如果對於其中任意2個，任意3個，...，任意

個事件的積事件的概率，都等於各事件概率之積，則稱

相互獨立。

設

是

個事件，若其中任意兩個事件之間均相互獨立，則稱

兩兩獨立。

注：相互獨立一定兩兩獨立、兩兩獨立不一定相互獨立。

例題：如果將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正面H和反面T的出現情況，則此時樣本空間為

，令

。

則

故有

由定義1知，

任意兩個事件都是相互獨立的，但是

也就是説

兩兩獨立，並不相互獨立。 ^[1] 

若事件

相互獨立，則其中任意

個事件也相互獨立。

由獨立性定義可直接推出性質1。 ’

若n個事件

相互獨立，則將

中任意

個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立。

從直觀上看是顯然的，對

時，定理2已作證明，一般情況叮利用數學歸納法證之，此處略。 ^[1] 

假設隨機變量X、Y的相關係數存在。如果X和Y相互獨立，那麼X、Y不相關。反之，若X和Y不相關，X和Y卻不一定相互獨立。不相關只是就線性關係來説的，而相互獨立是就一般關係而言的。 ^[2] 

例1 有兩門高射炮獨立地射擊一架敵機，設甲炮擊中敵機的概率為0.8，乙炮擊中敵機的概率為0.7，試求敵機被擊中的概率。 ^[1] 

解： 設A={甲炮擊中敵機}，B={乙炮擊中敵機}，則A U B={敵機被擊中}，由題意知，P(A)=0.8，P(B)=0.7，由於A，B相互獨立。故

例2 有甲、乙兩批種子，發芽率分別為0.8和0.7，並假設每批種子發芽與否是相互獨立的，從兩批種子中各隨機地抽取一粒，求：

(1)兩粒都能發芽的概率；

(2)至少有一粒種子能發芽的概率；

(3)恰好有一粒種子能發芽的概率。

解: 設A={取自甲批種子中的某粒種子能發芽}，B={取自乙批種子中的某粒種子能發芽}，則所求的概率分別為：

。

由於

，且

相互獨立，故有：

例3 甲、乙兩人進行網球比賽。每局甲勝的概率為p，且

．試問對甲而言，採用三局二勝制有利，還是採用五局三勝制有利？設各局勝負相互獨立。

解： 採用三局二勝制，甲最終獲勝，其勝局的情況是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”，而這三種結局互不相容，於是由獨立性得甲最終獲勝的概率為

。

採用五局三勝制，甲最終獲勝，至少需比賽3局(可能賽3局．也可能賽4局或5局)，且最後一局必須是甲勝，而前面甲需勝二局。例如．共賽4局，則甲的勝局情況是：“甲乙甲甲”、“乙甲甲甲”、“甲甲乙甲”、且這三種結局互不相容，由獨立性得甲最終獲勝的概率為：

於是，

。

當

時，

，即對甲來説採用五局三勝制較為有利；當

時，

即兩種賽制甲、乙最終獲勝的概率相同。 ^[1] 

上面這個例子所涉及的隨機試驗只有兩種可能的結果：甲勝或甲輸，且試驗在相同條件下可獨立重複地進行，在每次試驗中甲勝的概率都是相同的，具有這種特徵的概型就是伯努利概型。 ^[1]