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熱帶幾何

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熱帶幾何（Tropical geometry）是數學的一支，首先由巴西數學家兼計算機科學家 Imre Simon 於 1980 年代發展；“熱帶”一詞源於部分法國數學家對巴西的刻板印想。大略言之，熱帶幾何可謂是分片線性化的代數幾何。它在計數代數幾何中有重要的應用。 [1] 
中文名
熱帶幾何
外文名
Tropical geometry
分    類
代數幾何、組合數學
領    域
數理科學

目錄

  1. 1 基本定義
  2. 2 代數幾何中的情況

熱帶幾何基本定義

定義熱帶半環（又稱極小-加法代數，見下述定義）為
，其運算為：
此半環中的單項式不外就是線性映射；而多項式是對若干個線性映射取極小值，因此是個分片線性凹函數。稱之為熱帶多項式。一個熱帶多項式
的非光滑點集合稱為熱帶超曲面。可以證明：
1、熱帶超曲面即是滿足“零張力條件”的有理多面體復形。
2、設
為皮瑟級數環，這是一個代數封閉的非阿基米德域。熱帶超曲面即
上的變形體。
上述兩種刻劃提供了組合學與代數學之間的對應。給定一個合適的代數問題，我們可將之轉化為較易處理的組合問題以求解。 [2] 

熱帶幾何代數幾何中的情況

如代數幾何中的情形，熱帶超曲面的定義可以推廣到熱帶簇：取
中的理想
，定義相應的熱帶簇
為
的變形體。可以證明
，而且可取有限並集。
已有較深入研究的是平面上的熱帶幾何。許多代數幾何中的古典定理皆有相應的版本。 [3] 
參考資料
  • 1.    Mikhalkin G. Tropical Geometry and its applications[J]. 2006:págs. 827-852.
  • 2.    Pachter L, Sturmfels B, Fienberg S E. Tropical Geometry of Statistical Models[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 2004, 101(46):16132.
  • 3.    Richter-Gebert J, Sturmfels B, Theobald T. First steps in tropical geometry[J]. Mathematics, 2012:289-317.