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波萊爾可測函數

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波萊爾可測函數(Borel measurable function)亦稱波萊爾函數，是與波萊爾集相適應的可測函數。設f(x)是定義在波萊爾集B⊂Rn上的擴充實值函數，若對任意實數α，點集{x∈B|f(x)>α}是一波萊爾集，則稱f(x)是B上的波萊爾可測函數。這類函數構成了勒貝格可測函數類的子類，Rn中勒貝格可測函數與波萊爾函數的複合函數有如下關係：B°B=B， L°B=L， B°L=X， L°L=X，其中B，L分別表示波萊爾可測、勒貝格可測，X表示不一定可測 [1]  。
中文名
波萊爾可測函數
外文名
Borel measurable function
所屬學科
數學
別    名
波萊爾函數
相關概念
波萊爾集，可測函數等
類    型
數學術語

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 相關性質定理

波萊爾可測函數定義

假設
，是定義在
上的單值實函數，稱
為(m元)波萊爾函數，如果對於任意實數
，其中
是m維波萊爾
代數。波萊爾函數又叫做波萊爾可測函數(或
-可測函數) [2]  。
波萊爾函數是一類相當廣泛的函數，它包括一切階梯函數、一切連續函數和分段連續函數。波萊爾函數經過有限次的加、減、乘、除運算以及函數的複合，仍然是波萊爾函數；波萊爾函數列的(上、下)極限以及上確界和下確界仍然是波萊爾函數。

波萊爾可測函數相關性質定理

1. 波萊爾函數是相當廣泛的一類函數：一切波萊爾集的示性函數都是波萊爾函數；即如果
，則它的示性函數
是波萊爾函數。
2. 假設
而
是任意n個實數，那麼
是波萊爾函數(稱做波萊爾階梯函數)。
3. 如果
是一列波萊爾函數，則
都是波萊爾函數。
4. 一切連續函數都是波萊爾函數。
5. 如果
，是m元波萊爾函數，而
，是一元波萊爾函數，則
，是一元波萊爾函數。特別，如果
和
是波萊爾函數，則
都是波萊爾函數。
引理1 假設
，是波萊爾函數，而
是概率空間
上的m維隨機向量。那麼，
是一隨機變量 [2]  。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第三卷：中國科學技術出版社，2002.08
  • 2.    周概容．概率論與數理統計：高等教育出版社，1984年03月第1版