比較定理

在黎曼幾何的研究中，有一個常用的方法是通過比較一個黎曼流形和與它性質接近（如截面曲率，或裏奇曲率相近）的空間形式的集合量（如雅可比向量的長度、切向量的長度和夾角等等），從而定性地或定量地得到該黎曼流形的一些性質，所得到的結果通常被稱為比較定理。比較定理是黎曼幾何中重要的研究工具。

黎曼幾何中有許多比較定理，較為基本的有：

勞赫比較定理（Rauch comparison theorem）；

託波諾格夫比較定理（Toponogov comparison theorem）；

畢曉普-格羅莫夫體積比較定理（Bishop-Gromov volume comparison theorem）；

拉普拉斯算子比較定理（Laplacian comparison theorem）。

勞赫比較定理如下：

假設

分別是

維黎曼流形，

表示

的截面曲率；

分別是，M 和

上以弧長 t 為參數的測地線，

在

上五共軛點：J 和

分別是

上沿

的雅可比場，使得

分別與

在 t=0 處相切，並滿足條件

如果對與任意的

，以及任意的

都有

則對於任意的

有不等式

。特別是，如果

是常曲率 c 的空間形式，並且 M 是截面曲率滿足

，則對於 M 上沿測地線γ 在 t=0 處為零的雅可比場 J(t) 有

式中，

定義見雅克比場。當 e > 0 時，上式在 0 < t <

時成立。 ^[1]