裏奇曲率

設(M,g)為

維黎曼流形，R為黎曼曲率張量，

為

點處的任意一個切標架，對偶的餘切標架是

。設

，則裏奇曲率張量（Ricci curvature tensor） 是

對於任意非零切向量u，稱

為在

點沿切方向u的裏奇曲率。

若取

為單位正交切標架，且

，則易知

即裏奇曲率是n-1個截面曲率的和，因此關於裏奇曲率為正或負的假定弱於關於截面曲率為正或負的假定。特別地，若M具有常截面曲率k，則M的裏奇曲率為

。

[scalar curvature]

設(M，g)為

維黎曼流形，

為

點處的單位正交切標架。則稱

為在點

處的數量曲率。

在局部座標系

下，數量曲率 S 的表達式為

式中，

為黎曼曲率張量R在該局部座標系下的分量。

特別地，若 M 具有常截面曲率k，則 M 的數量為

。

[sectional curvature]

截面曲率是曲面內藴幾何學中高斯曲率在黎曼幾何中的推廣。

設(M,g)為

維黎曼流形，R為黎曼曲率張量。

，對於

中的任意兩個線性無關的向量u、v，稱

為在點𝑥沿截面

截面曲率。

證明

的值只依賴於二維截面

（即 M 在點

的切空間

的一個二維子空間），而與該截面的基底 u，v 的選取無關。

截面曲率是黎曼幾何中重要的內藴幾何量，它反映了空間彎曲的程度，並在曲線弧長的第二分公式中自然地出現，它為正成負，影響了該空間中測地線的大範圍性狀。 ^[1]