正規族

正規族是指具有某種收斂性質的函數族。定義如下：在一個區域D的一個全純函數族F稱為在D內為正規，如果從F的每一個函數序列f_n(z)(n=1，2，…)都可以選出一個子序列f_nk(z)(k=1，2，…)，使得它在D的內部一致收斂到一個全純函數或一致發散到∞。 ^[1] 

關於複平面上的點集有以下簡單事實:如果E是複平面上的一個有界點集（即E中的點均位於某一個圓|z|R內），那麼從E中每一個點序列zn(n=1,2,…)都可以選出一個子序列z(k=1,2，…)收斂到一個極限點。蒙泰爾首先將這個事實推廣到在一個區域內一致有界的全純函數族：如果F是在一個區域D內的一個一致有界全純函數族（即存在一個正數M使對於F中每一個函數?(z),不等式|?(z)|≤M在D內成立），那麼從F中每一個函數序列?n(z)(n=1,2,…)都可以選出一個子序列?(z)(k=1,2,…)在D的內部一致收斂到一個全純函數。這裏,族的意思就是集合；在D的內部一致收斂的意思是“在每一個連同邊界都屬於D的有界區域內”都一致收斂。蒙泰爾的以上定理在他的正規族理論中起着基本的作用，並在保角映射理論中有重要應用。

蒙泰爾注意到，以上定理中條件|?(z)|≤M表示函數?（z）在區域D內不取圓|w|=M外之值,然後他考慮全純函數族F中的函數?（z）在區域D內均不取一個圓|w-α|F的每一個函數序列?n(z)(n=1,2，…)中,都可選出一個子序列?(z)(k=1，2,…)在D的內部一致收斂到一個全純函數或一致收斂到常量∞。由此他提出了全純函數正規族的定義：

如果從全純函數族F的每一個函數序列?n(z)(n=1,2,…)中，都可以選出一個子序列?(z)(k=1,2,…)在D的內部一致收斂到一個全純函數或一致收斂到常量∞，則區域D內的全純函數族F稱為在D內為正規的。

因此，一個全純函數族F在一個區域D內為正規的一個充分條件是F中的函數在D內均不取同一個圓C外之值，另一個充分條件是不取C內之值。凡是這樣的充分條件都稱為正規性定則。經過進一步的研究，蒙泰爾證明了：F中的函數在D內均不取兩個固定的有窮值α及b，是一個正規性定則。這個定則可使複變函數論中過去看來是鬆散的幾個定理呈現緊密的聯繫，如從這個定則很容易推出皮卡第一定理：一個非常數的整函數?（z）取每一個有窮值，最多除去一個例外值。證明方法是引進函數序列，如果以上皮卡定理不成立，則根據蒙泰爾的正規性定則，這個函數序列構成在圓|z|?(z)在一區域0z|ρ為全純並以z=0為本性奇點,則在此區域內函數?(z)取每一有窮值無窮次,最多除去一個例外值。根據蒙泰爾的正規性定則還可以證明下列朔特基定理:如果一函數?(z)在一圓|z|R內為全純並且不取值0和1,則在每一圓|z|θR(0θ?(z)的模小於一個只依賴於?(0)及θ的正數。由此定理，利用柯西不等式，又可推出蘭道定理：如果一函數?(z)滿足朔特基定理中條件並且?′(0)≠0，則R不超過一個只依賴於?(0)及?′(0)的上限。

蒙泰爾引進正規族的概念之後，又進一步引進了擬正規族的概念。全純函數擬正規族的定義和全純函數正規族的定義的差別是:不要求子序列?(z)(k=1,2,…)在D的內部一致收斂，而只要求除去D內有窮個點（或無窮個點，但在D內沒有凝聚點）後,在所餘的區域內部一致收斂，然後他將G.維塔列的一個定理推廣為：如果在一個區域D的一個全純函數序列屬於一個正規族或擬正規族，並且在D內無窮個點收斂到有窮極限,而這無窮個點在D內最少有一個凝聚點，則此全純函數序列在D的內部一致收斂。

經過C.卡拉西奧多里、E.G.H.蘭道、蒙泰爾及A.奧斯特羅夫斯基的工作，亞純函數正規族的理論也建立起來。如果一致收斂性是用球面距離來定義，那麼亞純函數正規族的定義如下:如果從亞純函數族F的每一個函數序列?n(z)(n=1,2,…)中,都可以選出一個子序列?(z)(k=1,2,…)在一個區域D的內部一致收斂，則D內的亞純函數族F稱為在D內為正規的。關於亞純函數族蒙泰爾的正規性定則是：F中的函數在D內均不取三固定的值α，b及с（有窮或無窮）。類似地也可以給出亞純函數擬正規族的定義。

全純函數正規族及亞純函數正規族的理論已經發展到完善的地步。這個理論中的一個重要研究問題是尋求新的正規性定則。關於這個問題已有許多工作，在這方面,A.布洛赫的下列猜測很有指導意義：如果p是一個性質，非常數的整函數不具有性質p,那麼在一個區域內具有性質p的全純函數族是正規的。這個猜測在一些例子中都是對的。例如，與關於整函數的劉維爾定理相應的是以上蒙泰爾的關於一致有界的全純函數族的定理；與關於整函數的皮卡定理相應的是以上蒙泰爾的關於有兩個例外值的全純函數族的定則。此外，布洛赫還根據他的下列定理：如果函數?(z)於|z|?(0)=0並且?′(0)=1，則存在一個半徑大於一絕對常數的圓，在其中函數?(z)的反函數有一分支為全純；推出了一個新的正規性定則：在一個區域D的全純函數族F,如果F中的函數的反函數的全純圓域的半徑小於一個固定的常數，那麼F在D為正規。

除極點外為全純的函數為亞純函數，它是複變函數論研究的主要對象之一。

德國數學家外爾斯特拉斯、瑞典數學家米塔-列夫勒、法國數學家柯西等都是亞純函數理論的奠基人。1876年，外爾斯特拉斯證明了一個亞純函數可以表示為兩個整函數的商。第二年，瑞典數學家米塔-列夫勒推廣了外爾斯特拉斯的結果，證明在任意一個區域上的亞純函數皆可表示為兩個函數的商，其中每一個都在該區域內解析。法國數學家柯西也曾給出一種分解方法，對相當廣的一類亞純函數得到簡單的表示式。

近代亞純函數理論是20世紀20年代由芬蘭數學家奈望林納所創立。他在1925年發表了亞純函數的一個一般性理論，這個理論中有兩個基本定理分別被稱為第一基本定理和第二基本定理，從它們可以推出一系列關於亞純函數的值分佈的結果，豐富並推進了前人的工作，產生了深遠影響。

亞純函數的術語是由法國數學家布里奧和布凱共同引進的。 ^[2] 

數學分析的基本概念之一。它與“有確定的(或有限的)極限”同義，“收斂於……”相當於説“極限是……(確定的點或有限的數)”。例如“當n→∞時，數列{1/n}有極限，極限(值)為0”與“當n→∞時，數列{1/n}收斂於0”完全一樣.但“1/x當x→0的極限為∞”不能説成“1/x當x→0時收斂於∞”(因∞不是有限數)。在一些一般性敍述中，收斂和收斂性這兩個詞(在外語中通常是同一個詞)有時泛指函數或數列是否有極限的性質，或者按哪一種意義(什麼極限過程)有極限.在這個意義下，數學分析中所討論的收斂性的不同意義(不同類型的極限過程)大致有：對數列(點列)只討論當其項序號趨於無窮的收斂性；對一元和多元函數最基本的有自變量趨於定值(定點)的和自變量趨於無窮的這兩類收斂性，此外，對多元函數還有沿特殊路徑的和累次極限意義下的收斂性;對函數列(級數)有逐點收斂和一致收斂。不收斂稱為發散。 ^[3]