正則變換

點變換（point transformation）將廣義座標變換成廣義座標

，點變換方程的形式為 ^[2] 

其中，t是時間。

在哈密頓力學裏，由於廣義座標與廣義動量同樣地都是自變量（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程成為

其中，

是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則座標

變換為一組新的正則座標

，而同時維持哈密頓方程的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程為

新的哈密頓方程為

其中，

、

分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

思考一個物理系統的哈密頓量

。 ^[3] 

假設哈密頓量跟其中一個廣義座標

無關，則稱

為可略座標（ignorable coordinate），或循環座標（cyclic coordinate）：

。

在哈密頓方程中，廣義動量對於時間的導數是

。

所以，廣義動量

是常數

。

假設一個系統裏有n個廣義座標是可略座標。找出這n個可略座標，則可以使這系統減少2n個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略座標。

採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從

變換到。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理。 ^[4] 

那麼，必須令

；

其中，

是標度因子，G是生成函數。

假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（extended canonical transformation）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個

的延伸正則變換表示為

。

則可以設定另外一組變數與哈密頓量：

、

、

、

；其中，

是用來刪除

的常數，

。經過一番運算，可以得到

顯然地，這變換符合哈密頓方程。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（restricted canonical transformation）。

生成函數G的參數，除了時間以外，一半是舊的正則座標；另一半是新的正則座標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則座標變換為新的一組正則座標。這變換

保證是正則變換。

第一型生成函數

只跟舊廣義座標、新廣義座標有關，

。

代入方程（1）。展開生成函數對於時間的全導數，

新廣義座標

和舊廣義座標

都是自變量，其對於時間的全導數

和

互相無關，所以，以下2N+1個方程都必須成立：

這2N+1個方程設定了變換

，步驟如下：

第一組的N個方程（2），設定了

的 N個函數方程

。

在理想情況下，這些方程可以逆算出

的N個函數方程

第二組的N個方程（3），設定了

的N個函數方程

。

代入函數方程（5），可以算出

的N個函數方程

從2N個函數方程（5）、（6），可以逆算出2N個函數方程

代入新哈密頓量

的方程（4），可以得到

第二型生成函數

的參數是舊廣義座標

、新廣義動量

與時間：

；

以下2N+1方程設定了變換

：

第三型生成函數

的參數是舊廣義動量

、新廣義座標

與時間：

。

以下2N+1方程設定了變換

：

第四型生成函數

的參數是舊廣義動量

、新廣義動量

與時間：

。

以下2N+1方程設定了變換

：

正則變換必須滿足哈密頓方程不變；哈密頓方程為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。辛條件不變量、基本泊松括號不變量和泊松括號不變量。