射影定律

所謂射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

任意三角形射影定理：在三角形

中，已知

分別是三角形的內角

所對應的邊，則有

、

、

^[1]  。

設直角三角形

，

是斜邊，CD是高，則：

等積式：

推出：

（比例式）

如右方射影定律簡圖，

，

，則

、

、

，以上比例式合稱射影定理。主要用於解決直角三角形斜邊及定點與斜邊的連線的問題，比如説給出

和

的長度求

。

公式: 如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：

（1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA 。

等積式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面積法”來證明）

直角三角形射影定理的證明

射影定理簡圖(幾何畫板)：

（主要是從三角形的相似比推算來的）

在△BAD與△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD^2=AD·DC。其餘同理可得可證

注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。

有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA

兩式相加得：AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .

即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理結論）。

已知:三角形中角A=90度，AD是高.

用勾股證射影

∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，

∴2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD×CD.

故AD^2=BD×CD.

運用此結論可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC， AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識進行證明。

任意三角形射影定理又稱“第一餘弦定理” ^[2]  ：

△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有

a=b·cosC+c·cosB，

b=c·cosA+a·cosC，

c=a·cosB+b·cosA。

注：以“a=b·cosC+c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

證明1：設點A在直線BC上的射影為點D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可證其餘。

證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其它的。

面積射影定理：“平面圖形射影面積等於被射影圖形的面積S乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的餘弦。”

COSθ=S射影/S原

(平面多邊形及其射影的面積分別是S原，S射影，它們所在平面所成鋭二面角的為θ)

因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的平方比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。那麼這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，並使斜邊和一直角邊垂直於稜（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），那麼三角形的斜邊和另一直角邊的比值就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比，而將這個比值放到該平面三角形中去運算即可 ^[3]  。

歐幾里得（希臘文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元前265年），古希臘數學家，被稱為“幾何之父”。他活躍於托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時期的亞歷山大里亞。 他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。