射影定理

①CD²=AD·BD;

②AC²=AD·AB;

③BC²=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

證明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已證)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB=

AC×BC=

AB·CD

∴

AC·BC=

AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

中學階段，射影定理有兩個，分別是：

（1）直角三角形中的射影定理：∆在ABC中，C為直角，CD⊥AB，則AC²=AD⋅AB，CD²=AD⋅DB，BC²=BD⋅ AB； ^[3] 

（2）任意三角形的射影定理（亦稱第一餘弦定理 ）：

。 ^[3] 

歐幾里得提出的面積射影定理projective theorem規定“平面圖形射影面積等於被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的餘弦。（即COSθ=S射影/S原）。”

(平面多邊形及其射影的面積分別是

和

,它們所在平面所成的二面角為

)

因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的乘積比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。

那麼這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，並使斜邊和一直角邊垂直於稜（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），則三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比。將此比值放到該平面中的三角形中去運算即可得證。

在△ABC中，設∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則有

注：這三個式子叫做射影定理，也可以在三角形中作三條高加以證明。 ^[2] 

歐幾里得（希臘文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元前265年），古希臘數學家，被稱為“幾何之父”。他活躍於托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時期的亞歷山大里亞。

他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。

射影長定理（theorem of length of segment projection ）是立體幾何中的重要定理之一。它是根據直角三角形的性質得出的。

射影幾何學作為一門古老而又精妙的幾何學分支，起源於17世紀。在這個時期，兩位傑出的數學家——埃蒂安·迪沙格（Étienne Desargues）和布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）共同為射影幾何學的發展做出了開創性的貢獻。射影幾何學作為一門古老而又精妙的幾何學分支，探討了在將點投影到直線或平面上時圖形的不變性質。它不僅在航空、攝影和測量等實際領域有廣泛應用，而且具有深刻的理論內涵。

射影幾何學和度量幾何學是兩個獨立但相互關聯的幾何學分支。儘管它們在方法和研究對象上存在一些差異，但它們之間有着密切的聯繫和相互滲透。射影幾何學強調的是圖形的投影性質和平行性。它主要研究通過中心投影或投影變換產生的圖形之間的相似性和對應關係。射影幾何學中重點研究的是射影空間、射影幾何體以及其中的投影關係。這種方法在處理複雜的三維幾何問題時非常有效，因為它能夠捕捉到不同視角下的圖形變換和投影關係。