-
橢球面
鎖定
- 中文名
- 橢球面
- 外文名
- Ellipsoid
- 適用範圍
- 數理科學
- 性 質
- 名詞
- 標準方程
- x²/a²+y²/b²+z²/c²=1
橢球面定義
在空間直角座標系下,由方程
所表示的曲面稱為橢球面,或稱橢圓面,從方程可知
這説明橢球面完全包含在由平面
所圍成的長方體內,其中a,b,c按其大小,分別稱為橢圓的長半軸、中半軸和短半軸。
橢球面形狀
用截痕法來考察橢球面的形狀。截痕法就是用座標面和平行於座標面的平面與曲面相截,考察其交線(即截痕的形狀),然後加以綜合,從而知道了曲線的全貌。
先考察橢球面與三個座標面的截痕
再用平行於xOy座標面的平面z=h(0<|h|<c)去截面得到截痕的方程為
這是一個位於平面z=h上的橢圓,它的中心在z軸上,兩個半軸分別為
和
。當|h|逐漸增大時,橢圓由大變小,當|h|=c時,橢圓縮為點(0,0,±c)。
用平行於yOz面或xOz面的平面去截橢球面,可以得到類似的結果。
當a,b,c中有任意2個相等時,為旋轉橢球面。
旋轉橢球面標準方程(不妨a=b時)為
可以看作由橢圓
繞z軸旋轉而成的。
橢球面相關概念
橢球面關於三座標平面、三座標軸、座標原點都對稱. 橢球面的對稱平面、對稱軸與對稱中心依次叫做橢球面的主平面、主軸與中心.橢球面的三條對稱軸與橢球面的交點叫做橢球面的頂點, 因此橢球面的頂點為 (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). 同一條軸上的兩頂點間的線段以及它們的長度2a, 2b, 2c叫做橢球面的軸,它的一半叫做半軸.
[2]
橢球面存在範圍
橢球面完全被封閉在一個長方體的內部,這個長方體由六個平面:x=±a, y=±b, z=±c所圍成.
橢球面座標面所截曲線
①
②
③
分別為xOy, xOz, yOz座標面上的橢圓,它們叫做橢球面的主截線(或主橢圓).
橢球面座標面平行平面所截曲線
橢球面可以看成由此橢圓族④所生成,這些橢圓所在平面與xOy座標面平行,而橢圓的兩雙頂點分別在另外兩個橢圓②與③上.用平行於其他座標面的平面來截割橢球面,結論類似.
橢球面參數方程
x=asinθcosφ
y=bsinθsinφ
z=ccosθ (0≤θ≤π, 0≤φ<2π)
從中消去 θ, φ可得橢球面的標準方程.
橢球面應用
一般地,運用解析方法對曲面標準方程進行討論的步驟可概括為:
(1) 曲面的對稱性:討論圖形各部分之間的關係;
(2) 曲面的範圍:討論圖形存在的範圍;
(3) 曲面和座標軸、座標平面的關係:以便對圖形的大概輪廓有所瞭解;
(4) 確切研究曲面的彎曲變化情況:主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面來截割曲面,研究截口曲線是怎樣變化的,也叫平行截面法,或平行截口線法.