樣本分佈函數

我們知道，若總體是隨機變量X，則X的分佈就是總體的分佈(也叫理論分佈)，X的分佈函數便是總體的分佈函數。要了解總體的情況，就要了解隨機變量x的分佈或它的某些數字特徵。樣本是總體的代表和反映，簡單隨機樣本應該能很好地反映總體的情況。那麼，如何由樣本來推斷總體的分佈呢?一般做法是作出樣本分佈函數用以觀察理論分佈的概貌。為此我們給出樣本分佈函數的定義。 ^[3] 

設(X₁，X₂，…，X_n)是來自總體X的一個簡單隨機樣本，將其一個觀測值(x₁，x₂，…x_n，)的分量按從小到大的順序排列成

其中

出現的頻數為

，記

稱F(X)為總體X的樣本分佈函數或經驗分佈函數。 ^[1] 

樣本分佈函數的圖像也是類似於離散型隨機變量分佈函數的圖像，是一條跳躍式上升的階梯形曲線，在每個間斷點x_(k)處跳躍。若樣本觀測值的各分量x₁，x₂，…，x_n不重複，則每一躍度為

；若某一分量重複m次，則在該分量處躍度為

。

由此定義容易看出，F_n(x)滿足下列性質：

(1)(單調有界性)樣本分佈函數是單調增加的有界函數，且0≤F_n(x)≤1；

(2)(規範性)

，

；

(3)(右連續性)對於任意的實數a，

；

(4)F_n(x)為非減函數；

由此可見，樣本分佈函數F_n(x)具有分佈函數的性質，我們可以將其看成是以等概率

取值X₁，X₂，…，X_n的離散型隨機變量的分佈函數。 ^[1] 

此外，對於任何實數x，F_n^*(x)的值等於樣本的n個觀測值中不超過x的個數除以樣本容量n。它正是n次獨立觀測中，事件{X≤x}出現的頻率。由概率與頻率的關係可知，當n充分大時，F_n^*(x)可以作為未知分佈函數F(x)的一個近似。因此樣本分佈函數F_n^*(x)可以作為總體分佈函數的近似，n越大，近似程度越好.這正是我們用樣本觀測值來估計和推斷總體的一個重要依據。 ^[3] 

根據伯努利大數定律，只要n足夠大，F_n(x)依概率收斂於總體分佈函數F(x)。事實上還可以有更進一步的結論，這就是格利文科(w．Glivenko)定理

按

，

，的圖形，如下圖2，C_n，C來講，這定理表明，對於任意給定的ε>0，概率為1時有：

當n足夠大時，C_n的圖形在用不等式

所定的帶狀區域內。

這些結論與下列直觀事實相吻合。在某種燈泡的壽命總體中，隨機地抽取一容量為20的樣本及一容量為120的樣本，其樣本分佈函數F₂₀(x)及F₁₂₀(x)的圖形都是台階形折線。可以看出，對不同容量的樣本，其樣本分佈函數也不相同，但都是總體分佈函數F(x)的縮影。由此可見，樣本分佈函數F_n(x)是總體分佈函數F(x)的一個良好近似。 ^[2] 

格利文科定理説明了，當n充分大時，格里文科定理深刻地描述了總體X的樣本分佈函數F_n(x)近似於總體X的分佈函數F(x)。因此對於較大的樣本，樣本分佈函數F_n(x)可以作為總體分佈函數F(x)的一個很好的近似．這是數理統計學中一切統計推斷都用樣本來估計和推斷總體的理論依據。 ^[1] 

從一批標準重量為5009的罐頭中，隨機抽取8聽，測得誤差如下(單位；g)：8，一4，6，一7，一2，1，0，1，求經驗分佈函數，並作出圖形。

解：將樣本值按大小順序排列為：一7<一4<一2<0<1=1<6<8

則其樣本分佈函數為：

圖形如下： ^[4] 

設商場100天銷售電視機的情況經統計如下：

求樣分佈本函數F_n(x)

解：由樣本分佈函數的定義有：

即樣本函數如下：

其圖形如下：