模態邏輯

模態邏輯，或者叫(不很常見)內涵邏輯，是處理用模態如“可能”、“或許”、“可以”、“一定”、“必然”等限定的句子的邏輯。模態邏輯可以用語義的“內涵性”來描述其特徵: 複雜公式的真值不能由子公式的真值來決定的。允許這種決定性的邏輯是“外延性的”，經典邏輯就是外延性的例子。模態算子不能使用外延語義來形式化: “喬治·布什是美國總統”和“2 + 2 = 4”是真的，但是“喬治·布什必然是美國總統”是假的，而“2 + 2 = 4 是必然的”是真的。 ^[2] 

形式模態邏輯使用模態判決算子表示模態。基本的模態算子是

和

。(有時分別使用“L”和“M”)。它們的意義依賴於特定的模態邏輯，但它們總是以相互定義的方式來定義：

研究必然、可能及其相關概念的邏輯性質。邏輯的一個分支模態邏輯所研究的命題"必然 A"和"可能 A"與通常命題演算中的命題不同。後者是真值函項，前者不是。因為，當A真時，"必然A"既可以是真也可以是假；當A假時，"可能A"既可以是真也可以是假。模態命題演算是現代模態邏輯的基本內容之一。

在模態邏輯的最常見解釋中，你要考慮“所有邏輯上可能的世界”。如果一個陳述在所有可能世界中是真的，則它是必然的真理。如果一個陳述碰巧在我們的世界中是真的，但不是在所有可能世界中是真的，則它是偶然的真理。在某些(不是必須在我們自己的)可能世界中是真的陳述叫做可能的真理。 ^[1] 

這種"可能世界"是否是解釋模態邏輯的最佳方式，怎樣在文字上接受這種方言，是形而上學的鮮活的問題。例如，可能世界的方言可以把關於大腳怪的斷言翻譯為“有某個可能世界，在其中大腳怪存在”。要主張大腳怪的存在性是可能的，但不是現實的，你可以説“有某個可能世界，在其中大腳怪存在；但是在現實世界中，大腳怪不存在”。但是對使模態斷言對我們負責的那個東西是什麼仍是不清楚的。我們真的要宣稱可能世界的存在性嗎？它在每一點都同我們的現實世界一樣真實，卻惟獨不是現實的。David Lewis 強硬的説就是這樣，可能世界同我們自己的世界一樣真實。這種立場叫做“模態現實主義”。不足為奇的，多數哲學家不願意接受這種特別的學説，在搜尋一種可替代的方式來釋義我們的模態斷言所藴含的本體論承諾。

在真勢模態邏輯(就是説必然性和可能性的邏輯)中

表示必然性，而

表示可能性。所以 Jones 有兄弟是“可能的”，當且僅當 Jones “沒”有兄弟是“非必然的”。

句子被認定為

早在古希臘，亞里士多德詳細研究過模態三段論。他把命題分為 3種：①實然命題的形式是，"a是b"；②必然命題的形式是，"a必然是b"；③偶然命題的形式是，"a偶然是b"。後兩者屬於模態命題。亞里士多德所説的"必然"，具有兩種意義。在一種意義下,"a必然是b"表示"b"所指謂的性質,是"a"所指謂的事物的本質屬性或本質屬性的一部分。這是客觀事物的必然性。由於在亞里士多德的理論中，本質與定義是相應的，因此也可以説，這是根據命題中語詞的定義而得出的必然性。在另一種意義下，"a必然是b"表示 "a是b" 是由別的命題根據三段論推出的必然結論。這實質上是演繹推理的邏輯必然性。亞里士多德所説的"偶然"是一個含混的語詞。在他的《工具論》中的有些地方，"a偶然是b"就是"a可能是b"。在這個意義上，"a必然是b"可推出"a偶然是b"。但在另外的地方，"a偶然是b"則是"a不必然是 b並且a不必然不是b"，或者是"a可能不是 b並且a可能是b"。在這一意義上，"a必然是b"就不能推出"a偶然是b",而"a偶然是b"卻可推出"a不必然是b"。 ^[3] 

把"必然"和"偶然"這兩個模態概念分別加到亞里士多德的4種實然命題A、E、I、O上去，就可得出8種模態命題。例如，"所有 a都必然是b"，"有些a偶然不是b"等。亞里士多德討論了這8種模態命題的換質與換位，也討論了這些命題之間的邏輯關係。他所提出的模態三段論，是至少有一前提是模態命題的三段論。他根據前提把模態三段論分為 8大類：①兩個前提都是必然命題；②大前提是必然命題，小前提是實然命題；③大前提是實然命題，小前提是必然命題；④兩個前提都是偶然命題；⑤大前提是偶然命題，小前提是實然命題；⑥大前提是實然命題，小前提是偶然命題；⑦大前提是偶然命提,小前提是必然命題；⑧大前提是必然命題,小前提是偶然命題。

亞里士多德的模態三段論實質上是一個公理系統。他像處理實然三段論（見三段論）一樣，把模態三段論分為第1、第2和第3格，並把第1格的模態三段論看作完美的、不需要證明的,而且主要應用換位法和歸謬法,就可以從第 1格的模態三段論推出其他的模態三段論。

亞里士多德的學生泰奧弗拉斯多也創造了一個不同的模態三段論系統。稍後，麥加拉 -斯多阿學派（見麥加拉－斯多阿學派邏輯）也對必然與可能這些模態概念進行了較深入的探討。在公元 9～12世紀，阿拉伯邏輯學家吸取了古希臘有關模態邏輯的思想並有所發展。伊本·西那把模態概念和命題的時間結合起來，創造了一個新的模態三段論系統。12～15世紀的歐洲經院邏輯學家區別了命題模態與事物模態合的意義下的模態與分的意義下的模態。偽司各特還構造了一個在合的意義下的模態三段論系統和一個在分的意義下的模態三段論系統。奧康的威廉則構造了一個這樣的模態三段論系統：其中一個前提是在合的意義下的模態命題，而另一個前提是在分的意義下的模態命題。此外，經院邏輯學家還研究了知道、懷疑、願意等主觀模態概念和應當、許可等道義概念的邏輯性質。

模態邏輯最經常用來談論所謂的“真勢模態”:“...是必然的”或者“....是可能的”，這些模態（包括形而上學模態和邏輯模態）最容易混淆於認識模態(來自希臘語episteme,知識):“...確實是真的”和“...（對給定的可獲得的信息）或許是真的”。在普通的話語中這兩種模態經常用類似的詞來表達；下列對比可能有所幫助：

一個人Jones可以合理的“同時”説出：（1）“我確信大腳怪不可能存在”，還有（2）“大腳怪存在的確是可能的”。Jones通過（1）表達的意思是，對於給定的所有可獲得的信息，大腳怪存在與否是沒有疑問的。這是一個認識上的斷言。通過（2）表達的意思是這個事物可能曾是其它樣子的。他的意思不是“就我所知而言，大腳怪可能存在”。（所以這不矛盾於（1））。而是，他做了一個“形而上學”上的斷定，“即使我不知道，大腳怪存在仍是可能的”。

在其他方面，Jones可以説（3）“哥德巴赫猜想可能為真，也可能為假”，還有（4）“如果它是真的，則它必然是真的，不可能是假的”。這裏Jones的意思是，“就他所知而言，它為真為假都是在認識上可能的（哥德巴赫猜想仍未被證明是真還是假）。但是如果有這麼一個證明（至今仍未發現），則哥德巴赫猜想為假在邏輯上是不可能的”。邏輯上的可能性是一種“真勢”（alethic）可能性；（4）做了對一個數學真理曾經為假是否可能的一個斷言，而（3）只做了對“就Jones所知而言”這個論斷被證實為假是否可能的一個斷言，所以Jones還是不自相矛盾。

認識上的可能性還以一種非形而上學的方式關注真實世界。形而上學的可能性以“可能曾是”的方式關注世界，而認識上的可能性以（就我所知而言）“可能正是”的方式關注世界。比如，我想知道在離開前是否要帶把傘。如果你告訴我“外面可能在下雨” -- 在一種“認識上可能”的意義上--那麼這會影響我是否帶傘的決定。但是如果你告訴我“外面下雨是可能的” -- 在一種“形而上學上可能”的意義上--那麼我從這種大道理中沒有得到任何啓示。

大量的哲學文獻關心“真勢”而非“認識”模態。（實際上，其中大多數關心一種最廣泛的真勢模態，就是邏輯可能性）。這不是説真勢可能性比我們日常用的認識可能性更重要（考慮上面決定是否帶傘的例子）。只是説在哲學研究中的優先權不是日常生活中的重要性帶來的。

言語中有一些類似的模式，儘管不大可能與真勢模態混淆但仍密切的相關。其一是有關時間的談論。明天可能會下雨，但也可能不下好像是合理的；在另一方面，如果昨天下雨了，如果實際上已經下了，則説“昨天可能沒有下雨”就不是完全正確的。過去好像“固定的”或必然的，而將來在某種程度上不是。很多哲學家和邏輯學家認為這種推理不是很好；但是我們經常以這種方式談話，所以最好有一種邏輯能捕獲它的結構。類似的有關道德的談論，或者説義務和規範一般好像也有模態結構。在“你必須這麼做”和“你可以這麼做”之間的區別看起來很像在“這是必然的”和“這是可能的”之間的區別。這種邏輯叫做道義邏輯，“道義”來自希臘語duty。

有很多有不同性質的模態邏輯。在其中很多必然性和可能性的概念滿足下列德·摩根定律的聯繫：

儘管模態邏輯教科書比如Hughes和Cresswell的《A New Introduction to Modal Logic》覆蓋了這個定律不成立的一些系統。

模態邏輯向命題邏輯的“合式公式”增加上必然性和偶然性。在一些記號中“必然的p”使用“方塊”（

）表示，而“可能的p”使用“菱形”（

）表示。無論是什麼樣的記號，兩個算子是以相互定義的方式定義的：

（必然的p）等價於

（非可能的非p）

（可能的p）等價於

（非必然的非p）

因此，

和

叫做對偶算子。

要建立模態邏輯的可用系統，必須向命題邏輯的增加什麼公理是非常有爭議的主題。得名於Saul Kripke的K，只向經典命題邏輯公理體系增加了如下規則：

必然性規則：如果p是 K的定理，則也是。

分配律公理：如果

則

（這也叫做公理K）

但K是一個弱模態邏輯。特別是留下了一個公開的問題，命題是必然的但只偶爾是必然的。如果

為真則

為真不是K的定理，它是説，必然的真理必然是必然的。這可能不是K的大缺陷，因為這些好像是十分奇怪的問題，而試圖解答它們的任何嘗試都把我們捲入混亂的難題中。無論如何，對這種問題的不同解決方式生成了不同的模態邏輯系統。

這些規則缺乏從p的必然性到p的實際情況的公理，所以通常要補充上下列“自反性”公理，這就生成經常叫做T的一個系統。

（如果p是必然的，則p是事實）

這是多數但不是全部模態邏輯系統的規則。Jay Zeman的書《Modal Logic》覆蓋了沒有這個規則的系統如S1^0。

其他周知的基本公理：

4:

B:

D:

5:

這些公理產生的系統：

K到S5形成了嵌套的系統層級，建造了正規模態邏輯的核心。D主要對探索模態邏輯的道義解釋的人有價值。

今天最常見的系統是模態邏輯S5，它通過增加使所有模態真理是必然的公理來粗壯的解答了這個問題：例如，如果p是可能的，則p必然是可能的，如果p是必然的，則它必然是必然的。很多人認為它正當的根據是，它是在我們需要每個可能的世界相對於每個其他世界都是可能的時候所獲得的系統。不過，模態邏輯的其他系統已經被公式化了，部分的因為S5不能很好的適合我們感興趣的所有種類的形而上學模態。（若此則意味着可能的世界的談論不能很好的適合這些種類的模態）。

模態命題演算是現代模態邏輯的基本內容之一。它是應用數理邏輯的方法研究模態命題邏輯的結果。最先開始這方面研究的是19世紀末的H.麥克考爾(1837～1907)。在他的影響下，美國哲學家、邏輯學家C.I.劉易斯於1914年構造了一個模態命題演算。他用～（不可能）作為基本符號,通過定義p叾q呏～(p-q)引入嚴格藴涵。這裏,"叾"是嚴格藴涵符號,"呏"是定義符號，～ (p-q)解釋為不可能（p真並且q假）。後來劉易斯又不斷改進其模態系統，包括改進他所用的符號。1932年，他提出了 5個以"◇"（可能）為基本符號的模態命題演算S1,S2,S3,S4,S5。

20世紀30年代以後，出現了許多模態命題演算。其中，模態命題演算T是一個很簡單並且直觀性很強的系統。它是在一個完全的命題演算上再加上

①一個基本符號：L；

②一條形成規則：如果 A是合式公式，則LA是合式公式；

③兩條公理：

Lp →p，

L(p →q) →(Lp →Lq)。

④一條推理規則：如果p是定理，則Lp是定理。

該演算中的基本符號L可以解釋為必然；引入符號M可以解釋為可能。公理Lp→p可以解釋為：如果必然p是真的，則p是真的；公理L(p →q)→(Lp →Lq)可以解釋為：當必然（如果p，則q）是真的，並且必然p是真的，那麼必然q是真的。必然性規則可以解釋為：如果p是定理，則必然p是定理。

1946年，R.C.巴肯和R.卡爾納普各自獨立地構造了一個模態謂詞演算。巴肯的模態謂詞演算，實質上是在劉易斯的模態命題演算S2上再加個體詞、謂詞和量詞，以及有關的形成規則，公理和推理規則的結果。在這個演算中，有下面這樣一條公理：

M(ヨx)fx →(ヨx)Mfx

這一公式通常叫做巴肯公式。其解釋是：如果可能有的個體有f 性質，則有的個體可能有f 性質。但在巴肯的演算中，(ヨx)Mfx →M(ヨx)fx卻不是定理。

40年代末，卡爾納普開始從語義方面研究模態邏輯。50年代末到60年代初，S.坎格爾、J.欣梯卡與S.A.克里普克等人發展了卡爾納普的理論，提出了比較完整的模態邏輯的模型理論。克里普克所構造的模態命題演算的模型,是一個三元組〈W、R、V〉。其中W是許多可能世界的集合。一個可能世界,從直觀上説，也就是一個由許多互不矛盾但不一定現實的事物情況所組成的總體；R是可能世界之間的二元關係；V是滿足某些條件的賦值。而模態謂詞演算的模型,則在W、R、V之外至少還要加上個體域 D。根據這樣的模型就可定義模態常真式。

60年代以來模態邏輯有很大發展，出現了許多新的系統，特別出現了許多非標準的模態邏輯系統，如認知邏輯、道義邏輯、時態邏輯等。模態邏輯由於研究和闡明瞭必然、可能、應當、知道等本體論和認識論概念的邏輯性質，因而具有深刻的哲學意義。