梯度場

若對全空間或其中某一區域

中的每一點

，都有一個數量（或向量）與之對應，則稱在

上給定了一個數量場（或向量場）。

温度場和密度場都是數量場。在空間中引進了直角座標系以後，空間中點

的位置可由座標系確定。因此，給定了某個數量場就等於給定了一個數量函數

。在以下討論中，假設

對每個變量都有連續偏導數。若這些偏導數不同時等於零，則滿足方程

的所有的點通常是一個曲面，其中

是常數。在這些曲面上函數

都取同一值，因此常稱它為等值面。例如温度場中的等温面等。

向量場可以重力場或速度場為例。當引進直角座標系後，向量場就與向量函數

相對應。設

在三個座標軸上的投影分別為

則

這裏

為所定義區域上的數量函數，並假定它們有連續偏導數。

設

為向量場中的一條曲線。若

上每點

處的切線方向都與向量函數

在該點的方向一致，即

則稱曲線

為向量場

的向量場線 ^[1]  。例如電力線、磁力線等都是向量場線。

需要注意，場的性質是它自己的屬性，和座標系的引進無關。引入或選擇某種座標系是為了便於通過數學方法來研究它的性質。

由數量場

所得到的矢量場

稱為數量場

的梯度場 ^[2]  ；對於定點

，矢量

稱為數量場

在點

的梯度。

其中的算符

稱為哈密頓算符，讀作“Nabla”。

① 定義 ^[1]  設函數

在點

的附近有定義，

是從

出發的射線，並設

的單位方向矢量是

，

是

上任意一點。如果極限

存在，則稱這極限是函數

在點

沿方向

的方向導數。

② 計算公式

由此公式知：數量場的梯度剛好描述了數量場變化最大的方向和數值；所以，雖然梯度定義中用到了座標系，但梯度這個矢量是和座標系的選擇無關的。

1、若

是數量函數，則

2、若

是數量函數，則

特別地有

3、若

，則

4、若

，則

5、若

，則

例 ^[1]  設質量為

的質點位於原點，質量為

的質點位於

，記

，求

的梯度。

若以

表示

上的單位向量，則有

它表示兩質點間的引力，方向朝着原點，大小是與質量的乘積成比例，與兩點間的距離的平方成反比。這説明了引力場是數量函數

的梯度場。因此常稱

為引力勢。