梯度下降法

梯度下降法（英語：Gradient descent）是一個一階最優化算法，通常也稱為最速下降法。 要使用梯度下降法找到一個函數的局部極小值，必須向函數上當前點對應梯度（或者是近似梯度）的反方向的規定步長距離點進行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代進行搜索，則會接近函數的局部極大值點；這個過程則被稱為梯度上升法。 ^[1] 

梯度下降方法基於以下的觀察：如果實值函數

在點

處可微且有定義，那麼函數

在

點沿着梯度相反的方向

下降最快。

因而，如果

對於

為一個夠小數值時成立，那麼

。

考慮到這一點，我們可以從函數F的局部極小值的初始估計

出發，並考慮如下序列

使得

因此可得到

　　

如果順利的話序列

收斂到期望的極值。注意每次迭代步長可以改變。

右側的圖片示例了這一過程，這裏假設F定義在平面上，並且函數圖像是一個碗形。藍色的曲線是等高線（水平集），即函數F為常數的集合構成的曲線。紅色的箭頭指向該點梯度的反方向。（一點處的梯度方向與通過該點的等高線垂直）。沿着梯度下降方向，將最終到達碗底，即函數F值最小的點。 ^[1]