迭代

在數學中，迭代函數是在分形和動力系統中深入研究的對象。迭代函數是重複的與自身複合的函數，這個過程叫做迭代。

迭代模型是RUP（Rational Unified Process，統一軟件開發過程，統一軟件過程）推薦的週期模型。

迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重複性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重複執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。

如果認為這個解釋難以理解，可以這樣想：

我們開發一個產品，如果不太複雜，會採用瀑布模型，簡單的説就是先定義需求，然後構建框架，然後寫代碼，然後測試，最後發佈一個產品。

這樣，幾個月過去了，直到最後一天發佈時，大家才能見到一個產品。

這樣的方式有明顯的缺點，假如我們對用户的需求判斷的不是很準確時——這是很常見的問題，一點也不少見——你工作了幾個月甚至是幾年，當你把產品拿給客户看時，客户往往會大吃一驚，這就是我要的東西嗎？

迭代的方式就有所不同，假如這個產品要求6個月交貨，我在第一個月就會拿出一個產品來，當然，這個產品會很不完善，會有很多功能還沒有添加進去，bug很多，還不穩定，但客户看了以後，會提出更詳細的修改意見，這樣，你就知道自己距離客户的需求有多遠，我回家以後，再花一個月，在上個月所作的需求分析、框架設計、代碼、測試等等的基礎上，進一步改進，又拿出一個更完善的產品來，給客户看，讓他們提意見。

就這樣，我的產品在功能上、質量上都能夠逐漸逼近客户的要求，不會出現我花了大量心血後，直到最後發佈之時才發現根本不是客户要的東西的情況。

這樣的方法很不錯，但他也有自己的缺陷，那就是週期長、成本很高。在應付大項目、高風險項目——就比如是航天飛機的控制系統時，迭代的成本比項目失敗的風險成本低得多，用這種方式明顯有優勢。

如果你是給自己的單位開發一個小MIS，自己也比較清楚需求，工期上也不過花上個把月的時間，用迭代就有點殺雞用了牛刀，那還是瀑布模型更管用，即使是做得不對，頂多再花一個月重來，沒什麼了不起。

有些國外的教材，如《C++ Primer》第四版的中文版，會把iterative翻譯成迭代。

在java中Iterative 僅用於遍歷集合，本身並不提供盛裝對象的能力。如果需要創建Iterative對象，則必須有一個被迭代的集合。沒有集合的Iterative彷彿無本之木，沒有存在的價值。

iterative是反覆的意思，所以，有時候，迭代也會指循環執行，反覆執行的意思。

利用迭代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：

在可以用迭代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是迭代變量。

所謂迭代關係式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式（或關係）。迭代關係式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。

在什麼時候結束迭代過程?這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重複執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。 ^[1] 

例1 ： Fibonacci Sequence(斐波那契數列)

即這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13......，在數學上該數列定義為：

F(0)=0，F(1)=1; F(n) = F(n-1)+F(n-2) (n≥2,n∈N*)。

一般該數列可以遞歸實現，下面是用C語言 迭代 實現：

int fab(int n)

{ if (n<3)

{return 1;}

else

{int first = 1,second = 1,temp = 0;

for (int i =0;i<n-2;i++)

{temp = first + second;

first = second;

second = temp;}

return temp;

}

}

例 1 ：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少隻?

分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的只數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的只數為 u 3 ，……根據題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子”，則有

以下是引用片段：

u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……

根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：

以下是引用片段：

u n = (u n - 1） × 2 (n ≥ 2）* ①

對應 u n 和 u n - 1 ，定義兩個迭代變量y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關係：

以下是引用片段：

y=x*2

x=y

讓計算機對這個迭代關係重複執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：

以下是引用片段： ^[2] 

cls

x=1

for i=2 to 12

y=x*2

x=y

next i

print y

end

例 2 ：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鐘。將若干個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器內， 45 分鐘後容器內充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 2 20 個。試問，開始的時候往容器內放了多少個阿米巴?請編程序算出。

分析：根據題意，阿米巴每 3 分鐘分裂一次，那麼從開始的時候將阿米巴放入容器裏面，到 45 分鐘後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以裝阿米巴 2 20 個”，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是 2 20。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2 20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。

設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有

以下是引用片段：

x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1）

因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義迭代變量為 x ，則可以將上面的倒推公式轉換成如下的迭代公式：

x=x/2 (x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2 20）

讓這個迭代公式重複執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的迭代次數是個確定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制。參考程序如下：

以下是引用片段：

cls

x=2^20

for i=1 to 15

x=x/2

next i

print x

end

例 3 ：驗證角谷猜想。日本數學家角谷靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對於任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則將其除以 2 ；若 n 為奇數，則將其乘以 3 ，然後再加 1。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數1。人們把角谷靜夫的這一發現叫做“角谷猜想”。

要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程打印出來。

分析：定義迭代變量為 n ，按照角谷猜想的內容，可以得到兩種情況下的迭代關係式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：

以下是引用片段：

if n 為偶數 then

n=n/2

else

n=n*3+1

end if

這就是需要計算機重複執行的迭代過程。這個迭代過程需要重複執行多少次，才能使迭代變量n 最終變成自然數1 ，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步確定用來結束迭代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數n ，只要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束迭代過程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：

以下是引用片段：

cls

input "Please input n=";n

do until n=1

if n mod 2=0 then

rem 如果 n 為偶數，則調用迭代公式 n=n/2

n=n/2

print "—";n;

else

n=n*3+1

print "—";n;

end if

loop

end

迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x），然後按以下步驟執行：

⑴ 選一個方程的近似根，賦給變量x0;

⑵ 將x0的值保存於變量x1，然後計算g(x1），並將結果存於變量x0;

⑶ 當x0與x1的差的絕對值還大於指定的精度要求時，重複步驟⑵的計算。

若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：

【算法】迭代法求方程的根

以下是引用片段：

{ x0=初始近似根；

do {

x1=x0;

x0=g(x1）； /*按特定的方程計算新的近似根*/

} while (fabs(x0-x1）>Epsilon);

printf（“方程的近似根是%f\n”，x0);

}

迭代算法也常用於求方程組的根，令

X=(x0，x1，…，xn-1）

設方程組為：

xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）

則求方程組根的迭代算法可描述如下：

【算法】迭代法求方程組的根

以下是引用片段：

{ for (i=0;i

x=初始近似根；

do {

for (i=0;i

y=x;

for (i=0;i

x=gi(X);

for (delta=0.0,i=0;i

if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x);

} while (delta>Epsilon);

for (i=0;i

printf（“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x);

printf（“\n”）；

}

具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：

⑴ 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環，因此在使用迭代算法前應先考察方程是否有解，並在程序中對迭代的次數給予限制；

⑵ 方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。

① N 為兔子的個數， M為月份 （N+N*1）^M-1=2N^M-1 （註解） ^[3]