-
柯西—施瓦茨不等式
鎖定
柯西-施瓦茨不等式是一個在眾多背景下都有應用的不等式，例如線性代數，數學分析，概率論，向量代數以及其他許多領域。它被認為是數學中最重要的不等式之一。此不等式最初於1821年被柯西提出，其積分形式在1859被布尼亞剋夫斯基提出，而積分形式的現代證明則由施瓦茲於1888年給出。
- 中文名
- 柯西-施瓦茨不等式
- 外文名
- Cauchy–Schwarz inequality
- 提出者
- 柯西
- 提出時間
- 1821年
- 推廣者
- 赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨
柯西—施瓦茨不等式簡介
柯西—施瓦茨不等式應用
平方和絕不可能是負數，故對每一個實數X都有
其中，等號當且僅當每一項都等於0時成立。
柯西
數學上，柯西—施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式，例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。不等式以奧古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。
施瓦茨
柯西—施瓦茨不等式説，若x和y是實或復內積空間的元素，那麼
等式成立當且僅當x和y是線性相關。
柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果，是內積為連續函數。
[2]
柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用範的寫法表示：
柯西—施瓦茨不等式應用
柯西—施瓦茨不等式實內積空間的情形
不等式
現在取值
，代入後得到
因此有
柯西—施瓦茨不等式復內積空間的情形
證明類上。對任意
，可知
現在取值
，代入後得到
因此有
柯西—施瓦茨不等式特例
對歐幾里得空間
，有
對平方可積的復值函數，有
這兩例可更一般化為赫爾德不等式。
在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至等式
利用柯西-比內公式還可得到廣義的柯西不等式如下:
令A,B為兩個m×n矩陣(m>n),則有:
det(A*AT)*det(B*BT)≥(det(A*BT))^2
