曼海姆定理

1、 在三角形ABC的外接圓⊙O中，另有一圓⊙M分別與其內切，並和AB,AC相切於P,Q，則PQ中點為三角形ABC的內心。

2、 在三角形ABC的外接圓⊙O外，另有一圓⊙M分別與其外切，並和AB,AC延長線相切於D,P,Q，則PQ中點為三角形ABC的旁心。

證明一

當兩圓內切時,過D作兩圓外公切線上與B同側一點為E，與C同側一點為F

聯結DP,DQ並延長，交外接圓於S,T.聯結BD,AD,PQ,SA.

因為∠PDE=∠PQD=∠BPD=∠BAD+∠ADS,

∠SDE=∠SAD=∠SAB+∠BAD,

所以∠ADS=∠SAB，

所以S為弧AB中點,

所以S.I.C共線.

同理，B.I.T共線.

連接SC,BT.

對ABTDSC運用帕斯卡定理，則P.I.Q共線.

易知PQ⊥AI，故PI=IQ，I為PQ中點.

命題得證。

曼海姆定理(15張)

當兩圓外切時，類似可證。

證明二

這裏將P,Q改成E,F

作DG交AB於G，使得GE=GD

則∠GED=∠GDE

∵GE為小圓切線

根據切線長定理可得

GD為小圓切線

∴GD為大圓切線

連接DE延長交大圓於T，連接AT、AD

則∠GDE=∠TAD

∵∠GED=∠TEA∴∠TAD=∠TEA

∴△ATE∽△DTA

∴∠TAB=∠TDA=∠TBA

∴T為弧BTA中點

連接TC，則TC平分∠BCA

連接DF延長交大圓於S，同理可得S為弧ASC中點

連接SB，則SB平分∠ABC

∴TC、SB交於△ABC內心I

對ABTDSC運用Pascal定理，則E.I.F共線.

連AI，則AI平分∠EAF

根據切線長定理可得AE=AF

∴AI平分EF I為EF中點

命題得證。

當兩圓外切時，類似可證。