曲線相關

曲線相關是相對於線性相關而言的，也稱為非線性相關，即相關的現象之間的相關形式並不表現為直線的關係，而是近似於某種曲線的關係。社會經濟領域有許多現象之間的關係表現為非線性相關。對非線性相關的現象之間的迴歸分析稱為非線性迴歸分析，或曲線迴歸分析。在只涉及一個自變量的情況下，稱兩個變量之間的迴歸為一元非線性迴歸。非線性迴歸分析必須着重解決以下兩個問題：第一，如何確定非線性函數的具體形式。

與線性迴歸分析的場合不同，非線性迴歸函數有多種多樣的具體形式，需要根據所要研究的問題的性質並結合實際的樣本觀測值做出恰當的選擇。第二。如何估計函數中的參數。非線性迴歸分析最常用的方法仍然是最小二乘估計法。但需要根據函數的不同類型做出適當的處理 ^[1]  。

迴歸方程為：

雙曲線函數有多種形式，這裏只介紹其中的一種：

若

和

都接近等比變化，可配合冪函數曲線。其方程為

指數曲線的函數為

對數曲線的方程式為

一元非線性迴歸的問題，大多可以轉化為線性迴歸問題來解決，也就是通過對非線性迴歸模型進行適當的變量變換，使其轉化為線性模型來求解。以下介紹幾種常用的線性變換方法。

倒數變換是用新的變量來替換原模型中變量的倒數，從而使模型變成線性模型的一種方法。例如，對於雙曲線函數，令

代人原方程式，則有

對數變換主要用於對數函數的線性變換。對於對數函數，令

，代人原方程，可得

如對指數曲線

，等號兩邊分別取對數，得

令：

，則方程轉化為

多項式變換適用於多項式方程的變換。例如，對拋物線方程

，令

，則有

由相關係數的含義可知，相關係數用於測度現象間線性相關程度的大小。而對於變量之間存在曲線相關的強弱，難以用單相關係數去作正確的判斷。在這種場合下，可以利用相關指數，作為判斷變量之間是否存在某種類型的非線性相關關係的尺度。所謂相關指數，也就是對非線性迴歸模型進行擬合時所得到的可決係數。相關指數用R表示，其公式如下 ^[1]  ：

已知某種產品使用壽命與加工温度的一組數據如表1所示。試配合一條迴歸曲線。

解：從散點圖(見圖1)可以看出，產品的使用壽命與加工温度的關係近似地表現為一條指數曲線：

。

對方稱兩邊取對數：

，

令

，則

按直線迴歸的方法求參數

及

，計算結果如表2所示。

所以，產品壽命對加工温度的曲線迴歸方程為 ^[1]