星形線

星形線（Astroid）星形線的方程

直角座標方程：x^2/3+y^2/3=a^2/3

參數方程：x=a*(cost)³,y=a*(sint)³ （t為參數）

它所包圍的面積為3πa²/8。

它與x軸圍成的區域繞x軸旋轉而成的旋轉體表面積為12πa²/5。

體積為32πa³/105。

星形線（astroid）或稱為四尖瓣線（tetracuspid），是一個有四個尖點的內擺線，也屬於超橢圓的一種。所有星形線皆可以依以下的方程式比例縮放而得： ^[1] 

其英文名稱得名自希臘文的星星，星形線幾乎和橢圓的漸屈線相同。

若讓一個半徑為1/4的圓在一個半徑為1的圓內部，延著圓的圓周旋轉，小圓圓周上的任一點形成的軌跡即為星形線。星形線的參數方程為：

星形線是一個幾何虧格為0代數曲線的實數軌跡，其方程式如下：

因此星形線為六次曲線，在實數平面上有四個尖瓣的奇點，分別是星形線的四個頂點，在無限遠處還有二個複數的尖瓣的奇點，四個重根的複數奇點，因此星形線共有十個奇點。

星形線的對偶曲線是十字架形曲線，其方程式為

。星形線的漸屈線為另一個二倍大的漸屈線。

一個半徑為 a之圓的內擺線構成的星形線，其面積為

，周長為6a。

最先對星形線進行研究是Johann Bernouli。星形線由於有四個尖端，所以有時也被稱為四尖內擺線(tetracuspid)。星形線於1836年被正式定名，首次出現在正式出版的圖書（出版於維也納）中。星形線還有許多有趣的名稱：cubocycloid和paracycle。 ^[2] 

若星形線上某一點切線為T，則其斜率為tan(p)，其中p為極座標中的參數。相應的切線方程為

T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。

如果切線T分別交x、y軸於點x(X,0)、y(0,Y)，則線段xy恆為常數，且為a。

星形線是由半徑為a/4的圓在半徑為a的內側轉動形成的。

在第一象限星形線也可表示為靠在Y軸上一個線段在重力作用下掃過的圖形的包絡曲線。

(陰影裏的另一個弧是圓的一部分以做對比)

星形線與汽車門

我們知道，世界上有許多偉大的建築，門的設計也是建築家特別注意的。但是，最普通的門只有兩種：完整一扇和對開的兩扇。普通的房門是完整的一扇，一般的校門是對開的兩扇，而公共汽車的門不但是對開的兩扇，而且每一扇都由相同的兩半用鉸鏈鉸接而成。開門關門時，以靠近門軸的半扇繞着門軸旋轉，另半扇的外端沿着連接兩個門軸的滑槽滑動，開門時一扇門折攏成為半扇，關門時又重新伸展成一扇。公共汽車的這個特殊門是根據星形線設計製造的。

星形線像夜空中光芒四射的星星，因此得名。在紙上任意作若干條長度為R的線段，使它們的兩端分別在x軸和y軸上，然後在每一象限裏畫一段光滑的曲線弧，使它們與這些線段相切，這樣一條星形線就畫出來了。由畫圖過程可以看出，星形線是由一組直線包絡構成的。

一扇摺疊式的公共汽車車門可以表示成平面形式，其中O是門軸，OB為滑槽。在車門開閉過程中，定長BC的兩端分別沿x軸和y軸滑動，因此可得到一條星形線，但由於車門只是在第一象限活動，所以一扇車門實際活動的過程如上圖的形狀，它是由圓弧MN和星形線弧NP構成。也就是説這扇車門活動的範圍，由扇形OMN的面積、三角形ONQ的面積與星形線弧所組成的曲邊三角形面積的和所組成。