數學方法論選講

數學方法論選講用十來個典型的專題，對數學的發展規律和思想方法，進行了認真的研究和討論。書中着重介紹了數學模型方法、公理化方法、映射反演原則、結構主義和伽羅瓦羣的思想；分析了悖論與數學基礎問題的關係以及對數學發展的影響；探討了邏輯主義、直覺主義、形式主義等數學諸流派的觀點、方法以及它們的成因；敍述了數學家在數學研究中的發現、發明與創新過程的心智狀態。本書用辯證的觀點，總結了歷史上著名數學家希爾伯特等人的成長條件和成功的經驗。 ^[1] 

徐利治，一級教授，1920年9月出生於江蘇張家港。1945年畢業於西南聯合大學。1949年獲英國文化委員會資助赴英深造。1952年回國後歷任清華大學副教授、吉林大學教授、大連理工大學數學研究所所長、華中理工大學數學系主任等職。1998年前為我國培養出16們博士。又曾應聘為美國Texas AM大學客座教授、Nevada大學研究教授、加拿大Manitoba大學客座教授。所著《數學分析方法及例題選講》獲國家優秀教材獎；分析數學成果獲1993年加拿大國家科技委員會（NSERC-Canada）授予的國際科學交流獎。1998年前在內外發表數學論文200餘篇。。1948年發表的“高維漸近積分定理”以及60年代中期與美國數學家H.W.Gould合作發現的互反公式，迄今常被國際數學界同行引用並介紹。

第1講 數學方法論引論

1 研究數學方法論的意義和目的

2 宏觀的方法論與微觀的方法論

3 略論希爾伯特成功的社會因素

4 淺談微觀的數學方法論

第2講 略論數學模型方法

1 數學模型的意義

2 數學模型的類別及簡單例子

3 MM的構造過程及特點

4 怎樣培訓構造MM的能力

第3講 關係映射反演原則的應用

1 何謂“關係映射反演原則”?

2 數學中的RMI原則

3 若干較簡單的例子

4 幾個較難一點的例子

5 用RMI原則分析“不可能性命題”

6 關於RMI原則的補充説明

第4講 略論數學分理化方法

1 公理化方法的意義和作用

2 公理化方法發展簡史

3 公理化方法的基本內容

4 重要例子——幾何學公理化方法

5 關於公理系統的相容性問題

6 略談自然科學中的公理化方法

第5講 關於數學的結構主義

1 結構主義學派的形成過程

2 布巴基學派的一般觀點

3 數學結構的分類

4 數直線結構分析

5 略變拓撲結構

6 略談同構概念

7 略評結構主義

第6講 代數方程根式解法與伽羅瓦的羣論思想方法

1 代數基本定理與根式解法研究簡史

2 拉格朗日的思想方法與阿貝爾定理

3 伽羅瓦的思想方法

4 方程式可解性理論簡介

第7講 關於非標準數域與非康託型自然數模型的構造方法

1 略論“無限”概念藴含的矛盾

2 非標準數域的構造方法

3 非康託型自然數序列模型的構造法

4 關於一個引伸的芝諾悖論的解釋

5 略論無限的兩種形態

第8講 悖論與數學基礎問題

1 悖論的定義和起源

2 悖論的舉例和數學三次危機

3 策莫洛對悖論的解決方案

4 羅素對悖論的解決方案

5 塔斯基及其語義學

6 哥德爾的不完備性定理與悖論

7 悖論的成因與研究悖論的重要意義

第9講 論數學基礎諸流派及其無究觀

1 數學系統的相對相容性證明與諸流派形成的歷史近因

2 邏輯主義派的觀點和方法

3 直覺主義派的觀點和方法

……

第10講 略論數學發明創造的心智過程

附錄Ⅰ 數學軸象度概念與抽象度分析法

附錄Ⅱ “數學模式觀”與數學教育及哲學研究中的有關問題

主要參考文獻