邏輯主義派

邏輯主義派(logicism school)數學基礎中的學派之一邏輯主義派的主要宗旨是把數學化歸為邏輯.即邏輯主義者從邏輯的概念出發，經由明顯的定義得出數學概念，而任何數學定理，均可從邏輯的命題出發，由純邏輯的演繹推理得到.總之，全部數學都可從基本的邏輯概念和邏輯規則推導出來.因此，邏輯與數學也就不能區分了.實際上，從某種意義上説，邏輯主義者在為整個經典數學尋找更為一般的基礎，最終要把整個數學化歸為邏輯.

邏輯主義思想原則的萌芽，亦即把邏輯看成先於一切科學的觀點，可以追溯到德國數學家、哲學家萊布尼茨(Leibinz,G. W.)，但他本人並沒有從事這方面的工作，他的這一想法，直到19世紀才在德國數學家戴德金(Dedekind, ( J. W.) R. )、德國數學家、數理邏輯學家弗雷格(Frege , (F. L.) G. )、意大利數學家、邏輯學家佩亞諾(Peano,G.)等人的工作中得到初步發揮.應該説，邏輯主義的觀點在弗雷格的工作中就基本形成，這是因為弗雷格明確提出了數學可以化歸為邏輯的想法，而且花費了近20年的時間在他的鉅著《算術基礎》和《算術基礎原理》裏把算術化歸為邏輯.另外，戴德金也是邏輯主義的創始人之一這是因為他在1887年發表的《數的性質與意義》一文中，就已明確提出了與英國數理邏輯學家羅素(Russell , B. A. W.)幾乎完全相同的主張.當然，弗雷格的工作沒有超出算術的範圍，戴德金對自己的主張也沒有更多的展開，只有在羅素和英國邏輯學家、數學家懷特海(Whitehead,A. N.)那裏，才把邏輯主義的主張詳細加以發展，並且真正從相當少的公理和概念出發，導出了大部分數學.所以，大家公認羅素是邏輯主義派的主要代表人物. 羅素在他的《數理哲學導論》一書中指出:“數學是這樣的一種研究，它可以按兩個方向去進行一個比較熟悉的方向是建設性的，即不斷增大理論的複雜性……另一個是不很熟悉的方向，這就是通過分析來達到越來越大的抽象性和邏輯簡單性，這裏所考慮的已不再是從怎樣的假設出發可以定義或演繹出什麼結果的問題，而是研究我們能否找到更為一般的思想原則，從這些思想和原則出發，能使現在作為出發點的東西得以被定義或演繹出來.”這就是邏輯主義的根本宗旨以及實現這一宗旨的途徑. 意大利數學家佩亞諾1889年運用公理化方法建立了一個關於自然數的公理系統，闡明瞭怎樣從少數幾個基本概念和幾條公理出發推導出自然數的種種性質，並使得大量的算術命題能從中不斷地演繹出來.關於自然數的佩亞諾公理系統是由不經定義的集合、自然數、後繼數與屬於等概念加5條公理構成的.這5條公理是:

. 0是一個自然數. 2.每個自然數的後繼數仍為自然數. 3. 0不是任何其他自然數的後繼數. 4.如果兩個自然數的後繼數相等，則這兩個自然數也相等. 5.若M是由一些自然數所組成的集合，而M 含有0，且當M含有任一自然數a時，則M也一定含有u的後繼數.那麼M就含有全部自然數.

從邏輯主義的形成和歷史發展來看，邏輯主義的工作可以劃分為數學理論的算術化和算術理論的邏輯化兩個階段.111111111111 19世紀最後的25年，堪稱為數學理論算術化的時期，許多出色的數學家都投人了這個工作.1872 年，德國數學家外爾斯特拉斯(Weierstrass,K. ＜T. W.) 、戴德金和德國數學家康托爾(Cantor,G. ＜F. P. ) 等幾乎同時完成了實數的定義。但無論是康托爾的收斂有理數序列，還是康托爾的有理數分劃，都表明了實數論被化歸為有理數論，進而歸約到整數直至自然數系統.當然其中已借用了集合的概念，從而，世所著稱的、由幾個原始概念和五條公理所構成的佩亞諾算術公理系統便成為這個數學理論算術化工作的終結.人們從佩亞諾系統出發，藉助集合論概念，便可建造算術、分析、幾何直至整個數學大廈.因而，這種數學理論的算術化使得許多數學家感到滿意，甚至認為無需再前進了.但對邏輯主義者來説，這只是實現邏輯主義宗旨的第一步，要把數學化歸為邏輯，更重要的是所謂算術理論邏輯化.弗雷格、懷特海和羅素曾為藉助於純邏輯概念去定義佩亞諾系統的幾個原始概念、藉助於純邏輯而演繹地引出佩亞諾系統的五條公理等付出了巨大的勞動.後來，羅素曾經認為這種算術理論邏輯化的工作已經完成，從而認為邏輯主義的宗旨已經實現.羅素説:“從邏輯中展開純數學的工作，已經由懷特海和我在《數學原理》一書中詳細地做出來了.”但在實際上，因為他們在這一工作中還是藉助了兩條非邏輯公理，所以，羅素和懷特海並沒有能在《數學原理》一書中實現邏輯主義的宗旨.

由於邏輯主義派的基本立場是確認全部數學的有效性，並認為能把全部數學化歸為邏輯，這就勢必要確認實無限觀點下的無限集理論.因此，就無窮觀而言，邏輯主義派是實無限論者，亦即要確認實無限性研究對象在數學領域中的合理性.普遍認為，“羅素及其追隨者明顯地承認無限性對象的存在性”.但由於羅素為排除集合論中的悖論而發展他的分支類型論，因而在羅素系統中的實無限性對象就在不同的類和級中表現為一定的層次結構.

沒有無窮公理，自然數系統就無法構造，更談不上全部數學了.沒有選擇公理，則數學中的定理就要砍掉一大批.羅素和懷特海在他們的工作中不得不事實上藉助了這兩條公理.“作為邏輯法則，只允許討論可能性對象，而不允許在邏輯法則中做出某物是否存在的斷言.”但無窮公理和選擇公理恰恰都是存在性公理，因此它們不是邏輯公理.既然出手就藉助了非邏輯公理，怎能説全部數學命題皆由邏輯規則和邏輯概念演繹推出呢?所以，弗雷格在晚年已傾向於放棄邏輯主義的立場.德國學者弗倫克爾 （Fraenkel , A. A.）指出:“弗雷格和羅素的理論的嚴重的缺陷之一在於無窮公理之使用的令人頭痛的狀況.”這些明擺的事實也曾迫使羅素和懷特海設法補救，他們把所有要用到這兩條公理才能證明的命題一律改寫為條件式命題，即不把這兩條公理列入他們的系統.但當某數學命題屍必須藉助無窮公理才能證明時，就將屍陳述為“如果無窮公理真，則屍” 等，因而這兩條公理就變成諸如此類的每一定理的前提，而不再是特設的公理了.然而，普遍認為這是一種牽強的做法，大多數數學家都認為羅素和懷特海並沒有完全實現邏輯主義的宗旨.111111111111 羅素的方案和邏輯主義宗旨均以失敗告終，其根本原因在於只看到並且過於誇張了數學與邏輯在演繹結構上的同一性，完全抹殺了數學與邏輯的差異.但是，卻不能由於邏輯主義的失敗而認為邏輯主義者的工作毫無價值.相反地，應該看到邏輯主義者的工作已對數學與邏輯的發展做出了重要貢獻，對此可概述如下:

.羅素的分支類型論，特別是經過蘭姆賽 （Ramsey,F. P.）改進之後發展起來的簡單類型論，對於集合論悖論的研究和排除有重要意義.而且現有的一些解決悖論的方案，無不淵源於羅素早年提出的見解. 2.邏輯主義者相當成功地把古典數學納入了一個統一的公理系統，雖然這個系統不是純邏輯的，但這一工作卻成為公理化方法在近代發展中的一個重要起點. 3.由於邏輯主義者的工作，基本上完成了從傳統邏輯到數理邏輯的過渡和演變.特別是弗雷格、美國哲學家、物理學家皮爾斯(Peirce , C. S. )、德國學者施羅德(Schroder,K. W. K. E.)等最早地引進了量詞，並對量詞的性質作了深刻的研究.弗雷格還進一步給出了命題演算和謂詞演算系統.而羅素和懷特海合著的《數學原理》被譽為“總結過去數學基礎的研究成果，並由它宣告數理邏輯已經充分成 ^[1]  熟”的劃時代的鉅著.特別是邏輯主義者的工作“代表了一個第一流的學術運動，是對人類思維力的美妙的巨大貢獻”.