直覺主義派

直覺主義派(intuitionist school)數學基礎中的學派之一該學派的代表人物是荷蘭數學家布勞威爾(Brouwer,I_. E. J. ).直覺主義者的根本觀點是關於數學概念和方法的可構造性，並且數學的理論基礎不是集合論，而是自然數論.直覺主義者指出: 自然數來源於布勞威爾的“原始直覺”或“對象對偶直覺”.所謂對象對偶直覺，即人皆有之的一種能力: 某一時刻集中注意某一對象，緊接着又集中注意於另一對象，這就形成了一個原始對象對偶，以(1,2) 來表示它.有了這個原始對象對偶，可根據構造性的要求重複一次而產生對象對偶(2,3)，再重複一次便是對象對偶(3,4)，依次遞推下去.任何一個自然數都能從這個原始的對象對偶直覺開始，用構造性方法產生出來.直覺主義者認為，只有建立在這種原始直覺和可構造性之上的數學才是可信的.這種原始直覺“對於思想來説是如此直接，其結果又是如此清楚，以致不再需要任何別的什麼基礎”.海丁(Heyt- ing,A.)進而指出:“數學開始於自然數及自然數相等概念形成之後.”此外，直覺主義者認為，集合論悖論的出現不是一個偶然事件，它是整個數學感染疾病的一個徵兆.因此，悖論問題不可能通過對已有數學作某些技術的修改或限制而得以解決，必須依據可信性要求對已有的數學作全面審查，而且應該毫不猶豫地拋棄那些不符合可信性要求的數學概念和方法.直覺主義的可信性就是必須都是構造性的.而所謂構造性，即指能按固定方式經有限個步驟定義概念或實現某一方法.構造性亦稱能行性，構造性的方法亦稱能行性的方法.例如，求兩個正整數a和b 的最大公約數，可用歐幾里得除法在有限步內實現。這就是能行性或構造性方法.所以直覺主義的一個著名口號是“存在必須可構造”.從直覺主義派的基本觀點出發，直接決定了這一學派在數學工作中的主要宗旨之一是在無窮觀的問題上徹底採納潛無限而排斥實無限.

從直覺主義派的“存在必須可構造”這一前提出發，因為從生成的觀點來看，任何一個無窮集合或實無限性對象都是不可構造的，所以勢必導致徹底的潛無限觀念，並且完全排斥實無限.以最簡單的實無限對象自然數集為例來討論，因為任何有窮多個步驟都不能把所有的自然數構造出來，更談不上匯成整體了，所以，按照能行性的要求必然否定自然數全體這個概念，而且即使先假設有那麼一個全體自然數論域擺在那裏的話，直覺主義者也不承認能把全體自然數逐一複查完畢，亦即不承認有走遍自然數論域的概念.在他們看來，自然數只能永遠處於不斷地被構造的延伸狀態中.例如，德國數學家外爾 (Wey1,C. H. H.)明確指出:“布勞威爾使這一點明確了，就是沒有任何證據能夠證明所有自然數的整體的存在性……自然數，它能夠通過不斷地達到下一個數而超越任何一個已經達到的界線.從而也就開闢了通向無限的可能性.但它永遠停留於創造(生成)的狀態之中，而絕不是一個存在於自身之中之事物的封閉領域.”可見，在無窮觀的問題上，直覺主義派是十分徹底地採納了潛無限論者的觀點

直覺主義派在數學工作中的宗旨之二是，否認傳統邏輯的普遍性，並按照構造性的要求重建直覺主義邏輯規則.直覺主義派否認傳統邏輯的普遍有效性是出於存在必須可構造的考慮，並且在構造性觀點下發展了自己的邏輯，它是和傳統邏輯很不相同的一種邏輯一般地説，“這種不同之處主要表現在否定性質的推理上”.

直覺主義派在數學工作中的主要宗指之三是，批判古典數學，拆除一切非構造性數學框架，重建直覺主義的構造性數學.直覺主義完全否認古典數學中的種種非構造性證明，以直覺主義微積分為例，其根本問題在於如何在能行性意義下給出構造性的實數與構造性的連續統概念.直到1919年，布勞威爾終於利用“展形”概念巧妙地建造了符合構造性要求的連續統概念.而直覺主義的構造性連續統一旦建成，就完全改變了古典分析之實數論的面貌，直覺主義微積分就能在它基礎上建造起來了.

大多數數學家認為，直覺主義派的形成也導源於數學基礎問題的考慮，但直覺主義排除悖論的方案卻限制過大，被拋棄的合理因素太多.然而聯繫到計算機科學基礎理論的發展，構造性觀點和方法又有重要意義.詳言之，可作如下幾點評述:

1.直覺主義派強調能行性具有十分重大的現實意義，如所公認，計算機科學的發展離不開能行性.

2.直覺主義數學對於非構造性數學和傳統邏輯的完全排斥是不科學的，因為這種完全排斥無法解釋後者在相當範圍內的應用上的有效性.因此，遭到絕大多數數學家的反對.

3.直覺主義派對實無限性概念的完全排斥也不符合科學認識論的原則.因為“直覺主義……否定了關於無窮過程的大部分推理(不論是經典的或康托爾學派的)的有效性.如果這一派得勢的話，那麼大部分數學領域內的研究活動就會遇到不可克服的困難.幸好他們沒有得勢”.

4.直覺主義因反對古典邏輯，從而需要把整個邏輯及數學全盤改造，連人們日常認為最簡單、最明白無訛的部分也需重新審查，這顯然是一件非常艱鉅的工程.又由於直覺主義邏輯強調能行 ^[1]  性，反變得嚕囌、不方便起來.從而這個數學改造運動極慢，幾乎可以肯定其難以成功.