數學中的問題探究

這部叢書是一部優秀的數學教育研究論著，全書包括《數學基礎知識基本技能教學研究探索》、《數學中的問題探究》、《數學新題型研究》、《孺慕樂儀多元智能開發與評價的實驗研究》、《數學教育研究與寫作析評》五個分冊，本冊是其中的數學中的問題探究分冊，作者選取了一個獨到的研究角度進行詳細論述，並提出了一些獨到的教育理念。本書適合數學教育工作者參考學習。

前 言

1．問題探究的含義

1．1 探究性問題的特點

1．2 問題探究在教學中的作用

2．探究10題

2．1 化矩形為方

2．2 藉助簡單作圖工具解作圖難題

2．3 方根差問題

2．4 關於整數的若干問題

2．5 一些有趣的算法

2．6 格點多邊形

2．7 最大內接多邊形

2．8 勾股定理的推廣

2．9 點分佈問題

2．10 等距映射

3. 再探10題

3.1 問題

3．2解答與提示

4．思想實驗——數學探究的一個重要途徑

4．1 直覺

4．2 思想實驗

4．3 觀察幫助發現——九點圓定理

4．4 重要的是想象力——克萊因瓶

4．5 代數中的觀察——歐拉定理

5．擴充與反駁——再論數學探究的途徑

5．1 思想實驗是思想組合過程

5．2 擴展兩例

5．3 探究中的反駁

6．數學教育問題再探

6．1 目標和理論

6．2 建構主義與非形式化數學

6．3 從數學出發研究數學教育

6．4 教學的非模式化研究

參考文獻

人名索引

前言

20世紀90年代以來我們正面臨一場國際範圍內的課程改革運動。對於數學教師來説，怎樣使數學課程富有更大的啓發性，怎樣引導學生獲得獨立處理數學問題的能力，這是戢們所關心的一箇中心問題。

本書將從大量的實例出發，探討中學數學中探究性問題的含義、問題探究的主要途徑以及問題探究對數學教學的重要作用。法國數學家J．Dieudonne曾經説過，任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他所要處理的數學有一個可靠的直覺。傳統的數學教學從內容到方法都更多地把着眼點放在知識的傳授上，雖然大量數學教育的理論研究都肯定了教學目標應該着重在學生思維能力特別是創造性思維能力的培養上，但通過什麼樣的實際可操作的途徑才能達到這一目標呢?

最近已經通過的《義務教育階段國家數學課程標準》和正在研製過程中的《國家高中數學課程標準》，都肯定了數學中的問題探究是發展學生自身創新能力的重要途徑。通過探究式教學引導學生真正地學會從觀察和分析事實出發，尋求解決問題的方法，體驗創造性工作的真實過程，領會歸納式的科學研究方法，使數學課程在學生素質教育中發揮更大的作用。

本書內容包括理論探討和數學探究的實際課題兩個方面。

第1章對數學中探究性問題的含義作了簡單的界定，探究性問題與通常的課本習題之間雖然沒有明確的界限，但我們仍然可以從探究性問題的五個重要特點看到，探究性問題在整個數學結構中的意義和價值。

在第2章與第3章中，我們為讀者提供了20個探究性課題，並且按照作者自己的興趣和觀點對問題作了初步的研究和探討，分析了這些問題進一步發展的各種可能性，為實際的教學提供參考。這些問題大多是作者在自己的教學和研究過程中積累和選編而成的。其中有些問題雖然參考了有關的文獻，但都不是照搬別人的例題，基本上每個探究性問題中都包含了作者自己的獨立思考和研究，因此都具有一定的自身特點。對問題的選擇大體遵循以下原則：

(1)問題涉及的知識面限於中學階段。

(2)兼顧教學的趣味性與理論性。

(3)所有的探究即使最終可能牽涉比較深奧的現代數學分支，但一定考慮到是否可能做到“高理論，低表達”，使得中學生能夠接受。

(4)問題本身不完全孤立，要與現代數學之間存在一定的關聯，使探究具有實在的價值。

第4、5章是本書的理論探討部分。這兩章要探討的問題是：怎樣進行數學探究。這本來是一個難以簡單回答的問題，但作為數學教育工作者我們不得不面對這個重要的問題。我們提出了“思想實驗”的理論，並用許多典型的數學實例來分析和論證思想實驗發生的真實過程。我們力圖使數學探究過程成為一個可以加以研究和分析的實實在在的實驗過程，使“思想實驗”理論能夠轉化為一種可操作的教學過程。

第6章是在前五章的基礎上再探數學教育的理論問題。本章雖然篇幅很短，但我們突出地選擇了諸如建構主義、非形式化數學、知識的科學形態與教學形態、教學的非模式化研究等當前受到數學教育界廣泛關注的典型問題，鮮明地表達了作者的觀點和論據，希望通過自己的研究表達下面的論點：從數學出發研究數學教育。

本書僅僅是在所研究的問題方面拋磚引玉，誠望獲得辛勤耕耘在數學教育事業上的同行的批評指正。

本書可供中學教師、師範院校學生、數學教育方向的研究生以及其他從事數學教育研究的工作者閲讀參考。

本書在撰寫過程中得到數學教育界許多專家的支持和鼓勵，特別是華東師範大學張奠宙教授始終熱情勉勵作者參與數學教育方面的研究工作，使作者有機會涉足這一領域的探討和研究，作者對此深表感謝。同時感謝華東師範大學出版社支持本書出版，還對陳信漪老師在本書編排過程中認真細緻的校核工作深表敬意。